Областная олимпиада по математике, 2002 год, 10 класс

Найдите все функции $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ для которых при любых вещественных $x$ и $y$ справедливо равенство $f(xf(y)+x)=xy+f(x)$.

Комментарий/решение

Ответ:$f(x)=x$

Решение:$R(1;0): f(f(0)+1)=0+f(1)$ откуда $$f(0)=0$$

$R(2;0): f(2f(0)+2)=0+f(2)$ откуда $$f(2)=2$$

$R(3;0): f(3f(0)+3)=0+f(3)$ откуда $$f(3)=3$$

$R(1;2): f(f(2)+1)=2+f(1)$ откуда $$f(1)=1$$

По индукции докажем,что $f(x)=x$

Шаг 1. $f(0)=0;f(1)=1;f(2)=2;f(3)=3$

Шаг 2. Пусть$ f(k)=k$

Шаг 3. $R( x+1;0): f((x+1)f(0)+x+1)=0+f(x+1)$,

$f(x+1)=x+1$ . Это эквивалентно ответу

Никита, если ты решил функцию в целых числах, это не означает что ты решил функцию в вещественных числах. И не смотря на это, при $R(1,0)$ откуда вышла что $f(0)=0$.

$Ответ: f(x)=x,f(x)=-x$

Пусть $P(x;y)$ , это $f(xf(y)+x)=xy+f(x)$. При$P(1;x)$

$f(f(y)+1)=y+f(1)$. Так как $f(1)$ константа, тогдп правая часть равенства может принимать любое значение, тогда левая тоже, а это значит что $f(x)$ сюръективна. Пусть $a$ такое что $f(a)=0$, тогда при $P(x;a)$

$f(x)=ay+f(x)$, тогда $a=0$ или $f(0)=0$. Пусть $b$ такое что $f(b)=-1$. Тогда при $P(x;b)$

$0=xb+f(x)$, или $f(x)=-bx$. При проверки выясняется что $b=1$.

Ой, простите, ещё $b=-1$.