Математикадан облыстық олимпиада, 2001-2002 оқу жылы, 10 сынып

$\omega_1$ және $\omega_2$ шеңберлері бір-бірімен $A$ нүктесінде іштей жанасып тұр ($\omega_1$ шеңбердің радиусы $\omega_2$ шеңбердің радиусынан кіші). $\omega_1$ шеңберге, екі шеңбердің центрлері арқылы өтетін түзуге параллель болатын $l$ жанамасы жүргізілген. $l$ түзуі $\omega_1$ шеңбермен $B$ нүктеде жанасып, $\omega_2$ шеңбермен $C$ және $D$ нүктелерінде қиылысады. $AB$ түзуі $CAD$ бұрыштың биссектрисасы екенін дәледдеңдер.

Комментарий/решение

$\Delta BO_{1}A$ прямоугольный и равнобедренный , где $O_{1},O_{2}$ центры соответственных окружностей , которые лежат на одной прямой с точкой $A$ . Тогда получим $180^{\circ} - \dfrac{DO_{2}A}{2} = \angle DCA$ , так как $l \ || \ O_{1}O_{2}$ , то $\angle CDA = \angle DAO_{1} = 90^{\circ}-\dfrac{DO_{2}A}{2}$, тогда получим что $\angle CAB = 180^{\circ}-45^{\circ}-\angle DCA$ и $\angle BAD = 180^{\circ} - 135^{\circ} - \angle CDA$ , подставив найденные значения , получим требуемое .