Областная олимпиада по математике, 2002 год, 10 класс

Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ касаются друг друга внутренним образом (радиус $\omega_1$ меньше радиуса $\omega_2)$ в точке $A$. К окружности $\omega_1$ проведена касательная $l$, параллельная прямой, проходящей через центры окружностей. $l$ касается $\omega_1$ в точке $B$ и пересекает окружность $\omega_2$ в точках $C$ и $D$. Докажите, что $AB$ является биссектрисой угла $CAD$.

Комментарий/решение

$\Delta BO_{1}A$ прямоугольный и равнобедренный , где $O_{1},O_{2}$ центры соответственных окружностей , которые лежат на одной прямой с точкой $A$ . Тогда получим $180^{\circ} - \dfrac{DO_{2}A}{2} = \angle DCA$ , так как $l \ || \ O_{1}O_{2}$ , то $\angle CDA = \angle DAO_{1} = 90^{\circ}-\dfrac{DO_{2}A}{2}$, тогда получим что $\angle CAB = 180^{\circ}-45^{\circ}-\angle DCA$ и $\angle BAD = 180^{\circ} - 135^{\circ} - \angle CDA$ , подставив найденные значения , получим требуемое .