Математикадан облыстық олимпиада, 2001-2002 оқу жылы, 10 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. Кез келген оң нақты

$a$ және

$b$ сандары үшін

$\sqrt[3]{\dfrac{a}{b}}+\sqrt[3]{\dfrac{b}{a}}\le \sqrt[3]{2(a+b)\left( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} \right)}$ теңсіздігі орындалатынын дәледдеңдер.
комментарий/решение(3)

Есеп №2.

$a!+2002b!=c!$ теңдікті қанағаттандыратын барлық натурал

$a$ ,

$b$ және

$c$ сандарды табыңдар.
комментарий/решение(4)

Есеп №3.

$\omega_1$ және

$\omega_2$ шеңберлері бір-бірімен

$A$ нүктесінде іштей жанасып тұр (

$\omega_1$ шеңбердің радиусы

$\omega_2$ шеңбердің радиусынан кіші).

$\omega_1$ шеңберге, екі шеңбердің центрлері арқылы өтетін түзуге параллель болатын

$l$ жанамасы жүргізілген.

$l$ түзуі

$\omega_1$ шеңбермен

$B$ нүктеде жанасып,

$\omega_2$ шеңбермен

$C$ және

$D$ нүктелерінде қиылысады.

$AB$ түзуі

$CAD$ бұрыштың биссектрисасы екенін дәледдеңдер.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Үш мектептің әрқайсысында 200 оқушыдан оқиды. Әрбір оқушының әр мектепте кем дегеңде бір досы бар (егер

$a$ оқушысы

$b$ оқушысының досы болса, онда

$b$ оқушысы да

$a$ оқушысының досы деп есептелінеді). 300 оқушыдан тұратын

$\sum$ жиыны бар. Бұл жиында кез келген

$S$ мектебі және осы мектепте оқымайтын кез келген екі

$x,y\in \sum$ оқушылары үшін,

$S$ мектебінде оқитын достарының саны өзгеше екені белгілі. Әр түрлі мектептерде оқитын, бір-бірімен дос үш оқушы бар екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение

Есеп №5. Келесі теңдеулер жүйесін оң нақты саңдар жиынында шешіңдер:

$\left\{ \begin{matrix} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\ldots+{{x}_{n}}=9, \\ \dfrac{1}{{{x}_{1}}}+\dfrac{1}{{{x}_{2}}}+\ldots+\dfrac{1}{{{x}_{n}}}=1. \\ \end{matrix} \right.$
комментарий/решение(1)

Есеп №6. Кез келген нақты

$x,y$ сандары үшін

$f(xf(y)+x)=xy+f(x)$ теңдікті қанағаттаңдыратын барлық

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ функцияларын табыңдар.
комментарий/решение(5)

Есеп №7.

$ABC$ үшбұрышта барлық қабырғалардың ұзындықтары бүтін саңдар және іштей сызылған шеңбердің радиусы 1-ге тең. Осы үшбұрыш тік бұрышты үшбұрыш болып табылатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

Есеп №8. 52 ойын картасының тобы берілген. Осы топтың
1) алғашқы екі орында тұрған екі карталардың орындарын алмастыруға немесе
2) бірінші орындағы картасын соңғы орынға қоюға болады.
Осы 1 және 2 операцияларды қолдану арқылы, топтағы карталарды кез келген кезекте орналастыруға болатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение