Областная олимпиада по математике, 2002 год, 10 класс

Найдите все натуральные числа $a$, $b$ и $c$, удовлетворяющие равенству $a!+2002b! = c!$.

Комментарий/решение

Ответ:а=2002,b=2002,c=2003.

Очевидно что с>а и b.

1)a=b.c!=a!+2002b!=2003b!.И за того что 2003-простое число.с>=2003. Методом подбора найдем ответ a=2002,b=2002,c=2003.

2)a<b.расмотрим mod b!.c! делится на b!.2002b! делится на b!. из этого выходит что и а! делится на b!. что невозможно.

3)a>b.c!=a!+2002b!>2003b!.=> c>2003.расмотрим mod а!.а!с!.а! а!.из этого выходит что 2002b! тоже делится на a!.a>b, значит 2002 делится на а!. Так как 2002=11*13*7*2, наибольшее из этих простых чисел это 13, значит а>=13.То что невозможно. Потому что 13!>2002.

Алмаз, добро пожаловать в наше интеллектуальное сообщество matol! Поздравляю тебя с первым комментарием! Но чтобы твои решение были более понятны для других советую тебе использовать специальные формулы, которые сделают твои решения красивыми. Ты их можешь прочитать через ссылку в конце страницы под названием «Правила». Далее тебе нужно перейти в «Правила оформления задач».

А если тяжко приловчиться, есть сайт где можно потренироваться в вбивании формул.