Областная олимпиада по математике, 2000 год, 11 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Для положительных чисел

$a$ ,

$b$ ,

$c$ верно равенство

$abc=1$ . Докажите неравенство:

$a^{b + c} \cdot b^{c + a} \cdot c^{a + b} \leq 1$ .
комментарий/решение(4)

Задача №2. Множество

$X$ состоит из шести элементов. Каждое из множеств

$A_1$ ,

$A_2$ ,

$A_3$ ,

$A_4$ ,

$A_5$ ,

$A_6$ — трехэлементные подмножества множества

$X$ . Докажите, что можно раскрасить элементы множества

$X$ в два цвета так, что не все элементы каждого из множеств

$A_1$ ,

$A_2$ ,

$A_3$ ,

$A_4$ ,

$A_5$ ,

$A_6$ будут одинакового цвета.
комментарий/решение(1)

Задача №3. Точка

$O$ — центр описанной окружности остроугольного треугольника

$ABC$ . Точки

$P$ и

$K$ — середины отрезков

$AO$ и

$BC$ соответственно. Известно, что

$\angle CBA = 4\angle OPK$ и

$\angle ACB = 6\angle OPK$ . Найдите угол

$\angle OPK$ .
комментарий/решение(1)

Задача №4. Основанием пирамиды служит правильный девятиугольник. Каждая из диагоналей основания и каждая из боковых сторон красятся в один из двух цветов красный или синий (стороны основания не закрашиваются). Докажите, что найдутся три закрашенных отрезка одинакового цвета, составляющие треугольник.
комментарий/решение(1)

Задача №5. Найдите все пары

$(a, b)$ действительных чисел, удовлетворяющих следующей системе уравнений:

$\left\{ \begin{array}{rcl} 2^{a^4 + b^2 } + 2^{a^2 + b^4 } = 8, \cr a + b = 2. \cr \end{array} \right.$
комментарий/решение(1)

Задача №6. Дан остроугольный треугольник

$ABC$ . Точка

$D$ — основание высоты, опущенной из вершины

$A$ . Через точку

$D$ проводится прямая

$\alpha$ , отличная от

$BC$ . На прямой

$\alpha$ выбраны две точки

$E$ и

$F$ такие, что углы

$AEB$ и

$AFC$ — прямые.

$L$ — середина

$EF$ ,

$M$ — середина

$BC$ . Найдите угол

$ALM$ .
комментарий/решение(1)

Задача №7. На шахматной доске

$n\times n$ расставлены

$2n$ пешек (пешка ставится в центр клетки). Докажите, что найдутся четыре пешки, которые находятся в вершинах некоторого параллелограмма.
комментарий/решение

Задача №8. Найдите все функции

$f:(1; + \infty ) \to ( - \infty ; + \infty )$ такие, что для всех действительных чисел

$x>1$ и

$y>1$ справедливо равенство

$f(x) - f(y) = (y - x)f(xy).$
комментарий/решение(1)