Областная олимпиада по математике, 2000 год, 11 класс

Для положительных чисел $a$, $b$, $c$ верно равенство $abc=1$. Докажите неравенство: $a^{b + c} \cdot b^{c + a} \cdot c^{a + b} \leq 1$.

Комментарий/решение

Положим что $a \geq b \geq c $ , тогда $a^{b+c} \leq a^{a+b} , \ \ b^{c+a} \leq b^{a+b}$

$a^{b+c} \cdot b^{c+a} \cdot c^{a+b} \ \leq (abc)^{a+b} \ \leq 1 $

случай $a \geq b \geq c $ и $b \leq 1, \ c \leq 1, a \geq 1 $

Тогда $a^{b+c} \leq a^{a+c}, \ b^{c+a}=b^{a+c}, \ c^{a+b} \leq c^{a+c} $

значит умножая получаем $S \leq (abc)^{a+c}=1$

Это верно только тогда, когда $b\geq 1$, что не является фактом

$$ln(a^{b+c}b^{c+a}c^{a+b})\leq 0$$

$$(b+c)lna +(a+c)lnb+(a+b)lnc \leq 0$$

$$bln(ac)+cln(ab)+aln(bc) \leq 0$$

$$\sum_{x \in (a,b,c)} xln \frac{1}{x}\leq 0$$

$$-\sum_{x \in (a,b,c)} xlnx \leq 0$$

$$\sum_{x \in (a,b,c)} xlnx \geq 0 =ln(abc)=\sum_{x \in (a,b,c)} lnx$$

$$\sum_{x \in (a,b,c)}(x-1)lnx \geq 0$$

$$f(x)=(x-1)lnx$$

$$ f"(x)\geq 0$$

Пусть a>=b>=c .Разделим обе части на abc^(a+b+c), затем перевернем дробь, перевернув и знак, получим a^a * b^b * c^c>= 1 Далее рассмотрим 2 случая, 1) b<= 1 . Тогда единицу справа представим в виде (abc)^a . Получим b^{b-a}*c^{c-a}>= 1 что очевидно верно. 2)b>= 1 тогда единицу справа представим в виде (abc)^c после чего получим a^{a-c}*b^{b-c}>= 1 что тоже очевидно выполняется.