Математикадан облыстық олимпиада, 1999-2000 оқу жылы, 11 сынып
abc=1 болатын оң a, b және c сандары үшін келесі теңсіздікті дәлелдеңіз: ab+c⋅ba+c⋅ca+b≤1.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
ln(ab+cbc+aca+b)≤0
(b+c)lna+(a+c)lnb+(a+b)lnc≤0
bln(ac)+cln(ab)+aln(bc)≤0
∑x∈(a,b,c)xln1x≤0
−∑x∈(a,b,c)xlnx≤0
∑x∈(a,b,c)xlnx≥0=ln(abc)=∑x∈(a,b,c)lnx
∑x∈(a,b,c)(x−1)lnx≥0
f(x)=(x−1)lnx
f"(x)\geq 0
Пусть a>=b>=c .Разделим обе части на abc^(a+b+c), затем перевернем дробь, перевернув и знак, получим a^a * b^b * c^c>= 1 Далее рассмотрим 2 случая, 1) b<= 1 . Тогда единицу справа представим в виде (abc)^a . Получим b^{b-a}*c^{c-a}>= 1 что очевидно верно. 2)b>= 1 тогда единицу справа представим в виде (abc)^c после чего получим a^{a-c}*b^{b-c}>= 1 что тоже очевидно выполняется.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.