Processing math: 95%

Математикадан облыстық олимпиада, 1999-2000 оқу жылы, 11 сынып


abc=1 болатын оң a, b және c сандары үшін келесі теңсіздікті дәлелдеңіз: ab+cba+cca+b1.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   1
1 года 4 месяца назад #

Положим что abc , тогда ab+caa+b,  bc+aba+b

ab+cbc+aca+b (abc)a+b 1

случай abc и b1, c1,a1

Тогда ab+caa+c, bc+a=ba+c, ca+bca+c

значит умножая получаем S(abc)a+c=1

  0
1 года 4 месяца назад #

Это верно только тогда, когда b1, что не является фактом

  0
6 года 8 месяца назад #

ln(ab+cbc+aca+b)0

(b+c)lna+(a+c)lnb+(a+b)lnc0

bln(ac)+cln(ab)+aln(bc)0

x(a,b,c)xln1x0

x(a,b,c)xlnx0

x(a,b,c)xlnx0=ln(abc)=x(a,b,c)lnx

x(a,b,c)(x1)lnx0

f(x)=(x1)lnx

f"(x)\geq 0

пред. Правка 2   0
1 года 4 месяца назад #

Пусть a>=b>=c .Разделим обе части на abc^(a+b+c), затем перевернем дробь, перевернув и знак, получим a^a * b^b * c^c>= 1 Далее рассмотрим 2 случая, 1) b<= 1 . Тогда единицу справа представим в виде (abc)^a . Получим b^{b-a}*c^{c-a}>= 1 что очевидно верно. 2)b>= 1 тогда единицу справа представим в виде (abc)^c после чего получим a^{a-c}*b^{b-c}>= 1 что тоже очевидно выполняется.