Областная олимпиада по математике, 2000 год, 11 класс

Найдите все пары $(a, b)$ действительных чисел, удовлетворяющих следующей системе уравнений: $$\left\{ \begin{array}{rcl} 2^{a^4 + b^2 } + 2^{a^2 + b^4 } = 8, \cr a + b = 2. \cr \end{array} \right.$$

Комментарий/решение

$$2^{a^4+b^2}+2^{b^4+a^2}\geq2\cdot 2^{\frac{a^4+b^4}{2}+\frac{a^2+b^2}{2}}\geq 2^{\left(\frac{a+b}{2}\right)^4+\left(\frac{a+b}{2}\right)^2+1}=8$$

$$A+B \geq 2\sqrt{AB} \Rightarrow A+B=2\sqrt{AB} \Rightarrow \sqrt{A} =\sqrt{B}$$

$$2^{a^4+b^2}=2^{b^4+a^2}\Rightarrow a^4+b^2=b^4+a^2 \Rightarrow a^4-b^4+a^2-b^2=0 \Rightarrow$$

$$(a-b)(a+b)(a^2+b^2)+(a-b)(a+b)=0 \Rightarrow$$

$$\Rightarrow 2(a-b)(a^2+b^2)+2(a-b)=2(a-b)(a^2+b^2+1)=0$$

$$a^2+b^2+1>0 \Rightarrow a-b=0 \Rightarrow a=b=1$$