Математикадан облыстық олимпиада, 1999-2000 оқу жылы, 11 сынып
Теңдеулер жүйесін шешіңіз: {2a4+b2+2a2+b4=8,a+b=2.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
2a4+b2+2b4+a2≥2⋅2a4+b42+a2+b22≥2(a+b2)4+(a+b2)2+1=8
A+B≥2√AB⇒A+B=2√AB⇒√A=√B
2a4+b2=2b4+a2⇒a4+b2=b4+a2⇒a4−b4+a2−b2=0⇒
(a−b)(a+b)(a2+b2)+(a−b)(a+b)=0⇒
⇒2(a−b)(a2+b2)+2(a−b)=2(a−b)(a2+b2+1)=0
a2+b2+1>0⇒a−b=0⇒a=b=1
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.