Математикадан облыстық олимпиада, 1999-2000 оқу жылы, 11 сынып

Теңдеулер жүйесін шешіңіз: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} {2^{{a^4} + {b^2}}} + {2^{{a^2} + {b^4}}} = 8,\\ a + b = 2. \end{array} \end{array}} \right.$

Комментарий/решение

$$2^{a^4+b^2}+2^{b^4+a^2}\geq2\cdot 2^{\frac{a^4+b^4}{2}+\frac{a^2+b^2}{2}}\geq 2^{\left(\frac{a+b}{2}\right)^4+\left(\frac{a+b}{2}\right)^2+1}=8$$

$$A+B \geq 2\sqrt{AB} \Rightarrow A+B=2\sqrt{AB} \Rightarrow \sqrt{A} =\sqrt{B} $$

$$ 2^{a^4+b^2}=2^{b^4+a^2}\Rightarrow a^4+b^2=b^4+a^2 \Rightarrow a^4-b^4+a^2-b^2=0 \Rightarrow$$

$$(a-b)(a+b)(a^2+b^2)+(a-b)(a+b)=0 \Rightarrow $$

$$\Rightarrow 2(a-b)(a^2+b^2)+2(a-b)=2(a-b)(a^2+b^2+1)=0$$

$$a^2+b^2+1>0 \Rightarrow a-b=0 \Rightarrow a=b=1$$