Областная олимпиада по математике, 2000 год, 11 класс

Основанием пирамиды служит правильный девятиугольник. Каждая из диагоналей основания и каждая из боковых сторон красятся в один из двух цветов красный или синий (стороны основания не закрашиваются). Докажите, что найдутся три закрашенных отрезка одинакового цвета, составляющие треугольник.

Комментарий/решение

БОО из вершины O пирамиды выходит хотя бы 5 синих отрезков, пусть они соединяют O с точками A, B, C, D, E, (по часовой стрелке) один из отрезков AB, BC, CD, DE, EA является диагональю, иначе все они - стороны, тогда основание - пятиугольник, противоречие. Пусть AB - диагональ. Рассмотрим треугольник ABD. Если не все его стороны одного цвета, то какая-то сторона - синяя. Пусть XY - синяя сторона, тогда XOY - искомый треугольник.