Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Областная олимпиада по математике, 2000 год, 11 класс


Найдите все функции f:(1;+)(;+) такие, что для всех действительных чисел x>1 и y>1 справедливо равенство f(x)f(y)=(yx)f(xy).
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   1
3 года 9 месяца назад #

Ответ:f(k)=ck, где c это вещественная константа.

Пусть P(x,y) данное равенства. Тогда: P(k,k2),P(k3,k):

f(k3)=f(k2)f(k)kk2 (1)

f(k4)=f(k)f(k3)k3k=f(k)f(k2)f(k)kk2k3k (2)

Теперь рассмотрим f(k5), его можно рассмотреть 2 случаями: P(k3,k2);P(k4,k):

f(k)f(k4)k4k=f(k5)=f(k3)f(k2)k2k3

Если подставить сюда (1),(2) и выразить f(k2) из f(k), тогда выйдет что f(k2)=f(k)/k (3) (Да, это долго, но так и выходит). И если используя (3) и P(x2,y2): xf(x)=yf(y). Очевидно что из этого выходит ответ.