Областная олимпиада по математике, 2000 год, 11 класс
Найдите все функции f:(1;+∞)→(−∞;+∞) такие,
что для всех действительных чисел x>1 и y>1 справедливо равенство
f(x)−f(y)=(y−x)f(xy).
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Ответ:f(k)=ck, где c это вещественная константа.
Пусть P(x,y) данное равенства. Тогда: P(k,k2),P(k3,k):
f(k3)=f(k2)−f(k)k−k2 (1)
f(k4)=f(k)−f(k3)k3−k=f(k)−f(k2)−f(k)k−k2k3−k (2)
Теперь рассмотрим f(k5), его можно рассмотреть 2 случаями: P(k3,k2);P(k4,k):
f(k)−f(k4)k4−k=f(k5)=f(k3)−f(k2)k2−k3
Если подставить сюда (1),(2) и выразить f(k2) из f(k), тогда выйдет что f(k2)=f(k)/k (3) (Да, это долго, но так и выходит). И если используя (3) и P(x2,y2): xf(x)=yf(y). Очевидно что из этого выходит ответ.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.