Областная олимпиада по математике, 2000 год, 11 класс

Найдите все функции $f:(1; + \infty ) \to ( - \infty ; + \infty )$ такие, что для всех действительных чисел $x>1$ и $y>1$ справедливо равенство $$ f(x) - f(y) = (y - x)f(xy). $$

Комментарий/решение

$Ответ: f(k)=\dfrac{c}{k}$, где $c$ это вещественная константа.

Пусть $P(x,y)$ данное равенства. Тогда: $P(k,k^2),P(k^3,k)$:

$f(k^3)=\dfrac{f(k^2)-f(k)}{k-k^2}$ $(1)$

$f(k^4)=\dfrac{f(k)-f(k^3)}{k^3-k}=\dfrac{f(k)-\dfrac{f(k^2)-f(k)}{k-k^2}}{k^3-k}$ $(2)$

Теперь рассмотрим $f(k^5)$, его можно рассмотреть 2 случаями: $P(k^3,k^2);P(k^4,k)$:

$\dfrac{f(k)-f(k^4)}{k^4-k}=f(k^5)=\dfrac{f(k^3)-f(k^2)}{k^2-k^3}$

Если подставить сюда $(1),(2)$ и выразить $f(k^2)$ из $f(k)$, тогда выйдет что $f(k^2)=f(k)/k$ $(3)$ (Да, это долго, но так и выходит). И если используя $(3)$ и $P(x^2,y^2)$: $xf(x)=yf(y)$. Очевидно что из этого выходит ответ.