Областная олимпиада по математике, 2000 год, 11 класс

Точка $O$ — центр описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$. Точки $P$ и $K$ — середины отрезков $AO$ и $BC$ соответственно. Известно, что $\angle CBA = 4\angle OPK$ и $\angle ACB = 6\angle OPK$. Найдите угол $\angle OPK$.

Комментарий/решение

Заметим то $POK = 8 \angle OPK - 180^{\circ} - 10 \angle OPK = 180^{\circ} - 2 \angle OPK$ , то есть треугольник $OPK$ равнобедренный , откуда получаем $(\dfrac{BC}{2})^2 = (R+\dfrac{R}{2}) \cdot \dfrac{R}{2}$ или $BC=\sqrt{3}R$ , запишем через углы данное соотношение , $\sqrt{3} = 2sin (10 \angle OPK)$ , получим $\angle OPK = 12^{\circ}$ .