Математикадан облыстық олимпиада, 1999-2000 оқу жылы, 11 сынып

$O$ нүктесі — $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер центрі, ал $P$ және $K$ нүктелері сәйкесінше $AO$ және $BC$ кесінділерінің ортасы. Егер $\angle CBA=4\angle OPK$ және $\angle ACB=6\angle OPK$ екені белгілі болса, онда $OPK$ бұрышын табыңыз.

Комментарий/решение

Заметим то $POK = 8 \angle OPK - 180^{\circ} - 10 \angle OPK = 180^{\circ} - 2 \angle OPK$ , то есть треугольник $OPK$ равнобедренный , откуда получаем $(\dfrac{BC}{2})^2 = (R+\dfrac{R}{2}) \cdot \dfrac{R}{2}$ или $BC=\sqrt{3}R$ , запишем через углы данное соотношение , $\sqrt{3} = 2sin (10 \angle OPK)$ , получим $\angle OPK = 12^{\circ}$ .