Областная олимпиада по математике, 2000 год, 11 класс

Дан остроугольный треугольник $ABC$. Точка $D$ — основание высоты, опущенной из вершины $A$. Через точку $D$ проводится прямая $\alpha$, отличная от $BC$. На прямой $\alpha$ выбраны две точки $E$ и $F$ такие, что углы $AEB$ и $AFC$ — прямые. $L$ — середина $EF$, $M$ — середина $BC$. Найдите угол $ALM$.

Комментарий/решение

Заметим что точки $A,B,D,E$ лежат на одной окружности , как и точки $A,D,C,F$ с диаметрами $AB, CA$ соответственно. Откуда $\angle DBE = \angle DAE , \ \ \angle DAC = \angle DFC$ , значит треугольники $ABE , AFC$ подобны , найдем $\angle EAF = \angle DAF - \angle DAE = (180^{\circ} - ( \angle ACB + \angle ABE)) - ( \angle ABC - \angle ABE) = \angle BAC $ , откуда $\Delta AEF , \Delta ABC$ так же подобны . По условия $AL , AM$ медианы треугольников , значит $\angle AMD = 180^{\circ} - \angle ALD$ , то есть точки $A,M,D,L$ лежат на одной окружности, значит $\angle ALM = \angle ADB = 90^{\circ}$ .