Математикадан облыстық олимпиада, 1999-2000 оқу жылы, 11 сынып

Сүйір бұрышты $ABC$ үшбұрышы берілген. $D$ нүктесі $A$ төбесінен түсірілген биіктіктің табаны. $D$ нүктесі арқылы $BC$-дан өзгеше $\alpha$ түзуі жүргізілген. $\alpha$ түзуінің бойынан $AEB$ және $AFC$ бұрыштары тең болатындай $E$ және $F$ нүктелері алынған. $L$ нүктесі — $EF$ кесіндісінің ортасы, ал $M$ нүктесі — $BC$ кесіндісінің ортасы. $ALM$ бұрышы неге тең?

Комментарий/решение

Заметим что точки $A,B,D,E$ лежат на одной окружности , как и точки $A,D,C,F$ с диаметрами $AB, CA$ соответственно. Откуда $\angle DBE = \angle DAE , \ \ \angle DAC = \angle DFC$ , значит треугольники $ABE , AFC$ подобны , найдем $\angle EAF = \angle DAF - \angle DAE = (180^{\circ} - ( \angle ACB + \angle ABE)) - ( \angle ABC - \angle ABE) = \angle BAC $ , откуда $\Delta AEF , \Delta ABC$ так же подобны . По условия $AL , AM$ медианы треугольников , значит $\angle AMD = 180^{\circ} - \angle ALD$ , то есть точки $A,M,D,L$ лежат на одной окружности, значит $\angle ALM = \angle ADB = 90^{\circ}$ .