Математикадан облыстық олимпиада, 1999-2000 оқу жылы, 11 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1.

$abc=1$ болатын оң

$a$ ,

$b$ және

$c$ сандары үшін келесі теңсіздікті дәлелдеңіз:

${{a}^{b+c}}\cdot {{b}^{a+c}}\cdot {{c}^{a+b}}\le 1$ .
комментарий/решение(4)

Есеп №2.

$X$ жиыны алты элементтен тұрады.

${{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}},{{A}_{4}},{{A}_{5}},{{A}_{6}}$ — әрқайсысы

$X$ жиынының үш элементтен құралған ішкі жиындары болсын. Сонда

${{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}},{{A}_{4}},{{A}_{5}},{{A}_{6}}$ жиындарындағы барлық элементтер бірдей түсті боялмаған болатындай етіп,

$X$ жиынын екі түске бояуға болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$O$ нүктесі —

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер центрі, ал

$P$ және

$K$ нүктелері сәйкесінше

$AO$ және

$BC$ кесінділерінің ортасы. Егер

$\angle CBA=4\angle OPK$ және

$\angle ACB=6\angle OPK$ екені белгілі болса, онда

$OPK$ бұрышын табыңыз.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Пирамида табаны дұрыс тоғызбұрыш. Табанының әр диагоналі мен ірбір бүйір жағы екі түстің біреуіне боялады — қызыл немесе көк (табан қабырғалары боялмайды). Бірдей түске боялған үшбұрыш құрайтын үш кесінді табылатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Теңдеулер жүйесін шешіңіз:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} {2^{{a^4} + {b^2}}} + {2^{{a^2} + {b^4}}} = 8,\\ a + b = 2. \end{array} \end{array}} \right.$
комментарий/решение(1)

Есеп №6. Сүйір бұрышты

$ABC$ үшбұрышы берілген.

$D$ нүктесі

$A$ төбесінен түсірілген биіктіктің табаны.

$D$ нүктесі арқылы

$BC$ -дан өзгеше

$\alpha$ түзуі жүргізілген.

$\alpha$ түзуінің бойынан

$AEB$ және

$AFC$ бұрыштары тең болатындай

$E$ және

$F$ нүктелері алынған.

$L$ нүктесі —

$EF$ кесіндісінің ортасы, ал

$M$ нүктесі —

$BC$ кесіндісінің ортасы.

$ALM$ бұрышы неге тең?
комментарий/решение(1)

Есеп №7.

$n\times n$ шахмат тақтасына жалпы саны

$2n$ -ға тең дойбылар қойылған. Қандай да бір параллелограммның төбесі болатын төрт дойбы табылатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение

Есеп №8. Барлық

$x > 1$ және

$y > 1$ нақты сандары үшін

$f\left( x \right)-f\left( y \right)=\left( y-x \right)f\left( xy \right)$ теңдігі орындалатын

$f:\left( 1;+\infty \right)\to f\left( -\infty ;+\infty \right)$ функциясын табыңыздар.
комментарий/решение(1)