қазақша
русскийМатематикадан облыстық олимпиада, 1999-2000 оқу жылы, 11 сынып
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Есеп №1. $abc=1$ болатын оң $a$, $b$ және $c$ сандары үшін келесі теңсіздікті дәлелдеңіз: ${{a}^{b+c}}\cdot {{b}^{a+c}}\cdot {{c}^{a+b}}\le 1$.
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Есеп №2. $X$ жиыны алты элементтен тұрады. ${{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}},{{A}_{4}},{{A}_{5}},{{A}_{6}}$ — әрқайсысы $X$ жиынының үш элементтен құралған ішкі жиындары болсын. Сонда ${{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}},{{A}_{4}},{{A}_{5}},{{A}_{6}}$ жиындарындағы барлық элементтер бірдей түсті боялмаған болатындай етіп, $X$ жиынын екі түске бояуға болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. $O$ нүктесі — $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер центрі, ал $P$ және $K$ нүктелері сәйкесінше $AO$ және $BC$ кесінділерінің ортасы. Егер $\angle CBA=4\angle OPK$ және $\angle ACB=6\angle OPK$ екені белгілі болса, онда $OPK$ бұрышын табыңыз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Пирамида табаны дұрыс тоғызбұрыш. Табанының әр диагоналі мен ірбір бүйір жағы екі түстің біреуіне боялады — қызыл немесе көк (табан қабырғалары боялмайды). Бірдей түске боялған үшбұрыш құрайтын үш кесінді табылатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. Теңдеулер жүйесін шешіңіз: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
\begin{array}{l}
{2^{{a^4} + {b^2}}} + {2^{{a^2} + {b^4}}} = 8,\\
a + b = 2.
\end{array}
\end{array}} \right.$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. Сүйір бұрышты $ABC$ үшбұрышы берілген. $D$ нүктесі $A$ төбесінен түсірілген биіктіктің табаны. $D$ нүктесі арқылы $BC$-дан өзгеше $\alpha$ түзуі жүргізілген. $\alpha$ түзуінің бойынан $AEB$ және $AFC$ бұрыштары тең болатындай $E$ және $F$ нүктелері алынған. $L$ нүктесі — $EF$ кесіндісінің ортасы, ал $M$ нүктесі — $BC$ кесіндісінің ортасы. $ALM$ бұрышы неге тең?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №7. $n\times n$ шахмат тақтасына жалпы саны $2n$-ға тең дойбылар қойылған. Қандай да бір параллелограммның төбесі болатын төрт дойбы табылатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №8. Барлық $x > 1$ және $y > 1$ нақты сандары үшін $f\left( x \right)-f\left( y \right)=\left( y-x \right)f\left( xy \right)$ теңдігі орындалатын $f:\left( 1;+\infty \right)\to f\left( -\infty ;+\infty \right)$ функциясын табыңыздар.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)