Западно-Китайская математическая олимпиада, 2006 год

Есеп №1. Пусть $ n$ — натуральное число ($ n \geq 2$) и $ 0 < a_{1}, a_{2}, \ldots ,a_{n} < 1$. Найдите наибольшее возможное значение выражения $ \sum_{i=1}^{n}(a_{i}(1-a_{i+1}))^{\frac{1}{6}}$ ($ a_{n+1}=a_{1}$).
комментарий/решение

Есеп №2. Найдите наименьшее положительное $ k$, удовлетворяющее условию: для любых четырех попарно различных действительных чисел $ a,b,c,d$, которые не меньше $k$, существует перестановка $ (p,q,r,s)$ набора $ (a,b,c,d)$ такая, что уравнение $ (x^{2}+px+q)(x^{2}+rx+s)=0$ имеет четыре различных действительных корня.
комментарий/решение

Есеп №3. В $ \triangle PBC$ $\angle PBC=60^{o}$, касательная в точке $ P$ к описанной окружности $ g$ $ \triangle PBC$ пересекается с прямой $ CB$ в точке $ A$. Точки $ D$ и $ E$ лежат на отрезке $ PA$ и окружности $ g$, соответственно, причем $ \angle DBE=90^{o}$ и $ PD=PE$. $ BE$ и $ PC$ пересекаются в $F$. Известно, что прямые $ AF,BP,CD$ пересекаются в одной точке.
а) Докажите, что $BF$ — биссектриса $\angle PBC$.
б) Найдите $\tan \angle PCB$.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. $ a$ — натуральное число, не являющееся полным квадратом. Докажите, что для любого натурального числа $ n$ сумма $ {S_{n}=\sum_{i=1}^{n}\{a^{\frac{1}{2}}\}^{i}}$ иррациональна.
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Пусть $ S=\{n|n-1,n,n+1$ могут быть представлены в виде суммы квадратов двух натуральных чисел $\}$. Докажите, что если $ n$ лежит в $ S$, то и $ n^{2}$ лежит в $ S$.
комментарий/решение

Есеп №6. $AB$ — диаметр окружности с центром $O$. Точка $C$ лежит на прямой $AB$. Прямая, проходящая через $C$ пересекает рассматриваемую окружность в точках $D$ и $E$. $OF$ — диаметр описанной окружности с центром $O_{1}$ треугольника $BOD$. Прямая $CF$ пересекает окружность с центром в $O_{1}$ во второй раз в точке $G$. Докажите, что точки $O,A,E,G$ лежат на одной окружности.
комментарий/решение

Есеп №7. Даны натуральное число $k$, не меньшее 3, и действительное число $x$. Докажите, что если $\cos (k-1)x$ и $\cos kx$ рациональны, то существует натуральное $n > k$ такое, что числа $\cos (n-1)x$ и $\cos nx$ тоже рациональны.
комментарий/решение

Есеп №8. Даны натуральное число $k$, не меньшее 3, и действительное число $x$. Докажите, что если $\cos (k-1)x$ и $\cos kx$ рациональны, то существует натуральное $n > k$ такое, что числа $\cos (n-1)x$ и $\cos nx$ тоже рациональны.
комментарий/решение

результаты