Западно-Китайская математическая олимпиада, 2006 год

$a$ — натуральное число, не являющееся полным квадратом. Докажите, что для любого натурального числа $n$ сумма ${S_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{{\{ {a^{\frac{1}{2}}}\} }^i}}$ иррациональна.

Комментарий/решение

$\mathbb{I}-$ множество иррациональных чисел $\left( \sqrt{a} \in \mathbb{I} \right)$, $\mathbb{Q}-$ множество рациональных чисел.$\mathbb{I}\cup \mathbb{Q}=\mathbb{R}$

Допустим противное: число $S_n$ рационально, то есть представляется в виде несократимой дроби $r$:

$$S_n=\sqrt{a} \cdot \frac{1-(\sqrt{a})^n}{1-\sqrt{a}}=r \in Q$$

$$(\sqrt{a})^n=1+r-\frac{1}{\sqrt{a}}\cdot r$$

$$a^n =\left( 1+r-\frac{1}{\sqrt{a}}\cdot r \right)^2$$

$$a^n=1+2r-r^2-\frac{2}{\sqrt{a}}(r^2+r)+\frac{r^2}{a}$$

$$a^{n+1}=a+2ar-ar^2-2\sqrt{a}(r^2+r)+r^2$$

$$\sqrt{a}= \frac{a(1+2r)+r^2(1-a)-a^{n+1}}{2r(r+1)}\in \mathbb{Q}$$

Исходное предположение было неверным. $S_n \in \mathbb{I}$