Западно-Китайская математическая олимпиада, 2006 год

Задача №1.  Пусть $n$ — натуральное число ($n \geq 2$) и $0 < a_{1}, a_{2}, \ldots ,a_{n} < 1$. Найдите наибольшее возможное значение выражения $\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{a_i}{{(1 - {a_{i + 1}})}^{\frac{1}{6}}}} \right)}$ ($a_{n+1}=a_{1}$).
комментарий/решение

---

Задача №2.  Найдите наименьшее положительное $k$, удовлетворяющее условию: для любых четырех попарно различных действительных чисел $a,b,c,d$, которые не меньше $k$, существует перестановка $(p,q,r,s)$ набора $(a,b,c,d)$ такая, что уравнение $(x^{2}+px+q)(x^{2}+rx+s)=0$ имеет четыре различных действительных корня.
комментарий/решение

---

Задача №3.  В $\triangle PBC$ $\angle PBC=60^{o}$, касательная в точке $P$ к описанной окружности $g$ $\triangle PBC$ пересекается с прямой $CB$ в точке $A$. Точки $D$ и $E$ лежат на отрезке $PA$ и окружности $g$, соответственно, причем $\angle DBE=90^{o}$ и $PD=PE$. $BE$ и $PC$ пересекаются в $F$. Известно, что прямые $AF,BP,CD$ пересекаются в одной точке.
а) Докажите, что $BF$ — биссектриса $\angle PBC$.
б) Найдите $\tan \angle PCB$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  $a$ — натуральное число, не являющееся полным квадратом. Докажите, что для любого натурального числа $n$ сумма ${S_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{{\{ {a^{\frac{1}{2}}}\} }^i}}$ иррациональна.
комментарий/решение(1)

---

Задача №5. Пусть $S=\{n|n-1,n,n+1$ могут быть представлены в виде суммы квадратов двух натуральных чисел $\}$. Докажите, что если $n$ лежит в $S$, то и $n^{2}$ лежит в $S$.
комментарий/решение

---

Задача №6. $AB$ — диаметр окружности с центром $O$. Точка $C$ лежит на прямой $AB$. Прямая, проходящая через $C$ пересекает рассматриваемую окружность в точках $D$ и $E$. $OF$ — диаметр описанной окружности с центром $O_{1}$ треугольника $BOD$. Прямая $CF$ пересекает окружность с центром в $O_{1}$ во второй раз в точке $G$. Докажите, что точки $O,A,E,G$ лежат на одной окружности.
комментарий/решение

---

Задача №7.  Даны натуральное число $k$, не меньшее 3, и действительное число $x$. Докажите, что если $\cos (k-1)x$ и $\cos kx$ рациональны, то существует натуральное $n > k$ такое, что числа $\cos (n-1)x$ и $\cos nx$ тоже рациональны.
комментарий/решение

---

Задача №8.  Дано натуральное число $n\geq 2$. Пусть $B_{1}$, $B_{2}$, $\ldots,$ $B_{n}$ обозначают $n$ подмножеств множества $X$ таких, что каждое $B_{i}$ содержит ровно два элемента. Найдите наименьшее возможное значение $\left|X\right|$, при котором для произвольного выбора $B_{1}$, $B_{2}$, \ldots , $B_{n}$ существует подмножество $Y$ множества $X$ такое, что:
(i) $\left|Y\right| = n$;
(ii) $\left|Y \cap B_{i}\right|\leq 1$ для любого $i\in\left\{1,2, \ldots ,n\right\}$.
комментарий/решение

---