Западно-Китайская математическая олимпиада, 2006 год

Даны натуральное число $k$, не меньшее 3, и действительное число $x$. Докажите, что если $\cos (k-1)x$ и $\cos kx$ рациональны, то существует натуральное $n > k$ такое, что числа $\cos (n-1)x$ и $\cos nx$ тоже рациональны.