Республиканская олимпиада по математике, 2017 год, 9 класс

Задача №1. Можно ли числа

$1$ ,

$2$ ,

$\ldots$ ,

$2017$ разбить на три непустых множества

$A$ ,

$B$ и

$C$ так, что для любых

$a\in A$ ,

$b\in B$ и

$c\in C$ числа

$ab+c$ и

$ac+b$ не являлись точными квадратами? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(4)

Задача №2. Натуральное число

$a$ и простое

$p$ таковы, что НОД

$(a,p!)=1$ . Докажите, что

${{a}^{(p-1)!}}-1$ делится на

$p!$ . ( Ануарбеков Т. )
комментарий/решение(4)

Задача №3. На сторонах треугольника

$ABC$ во внешнюю сторону построены прямоугольники равных площадей

$ABLK$ ,

$BCNM$ и

$CAQP$ . Пусть

$X$ ,

$Y$ и

$Z$ середины отрезков

$KQ$ ,

$LM$ и

$NP$ соответственно. Докажите, что прямые

$AX$ ,

$BY$ и

$CZ$ пересекаются в одной точке. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2)

Задача №4. Неравнобедренный треугольник

$ABC$ вписан в окружность

$\omega$ с центром

$O$ . Продолжение биссектрисы

$CN$ пересекает

$\omega$ в точке

$M$ . Пусть

$MK$ — высота треугольника

$BCM$ ,

$P$ — середина отрезка

$CM$ , а

$Q$ — точка пересечения прямых

$OP$ и

$AB$ . Пусть прямая

$MQ$ во второй раз пересекает

$\omega$ в точке

$R$ , а

$T$ — точка пересечения прямых

$BR$ и

$MK$ . Докажите, что

$NT \parallel PK$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3)

Задача №5. Пусть

$a$ и

$b$ такие действительные числа, что

$\left| 3{{a}^{2}}-1 \right|\le 2b$ и

$\left| 3{{b}^{2}}-2 \right|\le a$ . Докажите, что

${{a}^{4}}+{{b}^{3}}\le 2$ . ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(7)

Задача №6. В каждую клетку таблицы

$100\times 100$ записано одно из чисел

$1,2,\ldots,100$ , причем каждое из этих чисел встречается в таблице 100 раз. Назовем линией любую строку или столбец таблицы. За один ход разрешается взять линию, в котором сумма чисел больше 100, и обнулить все числа на этой линии. Какое наибольшее количество ненулевых чисел может остаться в таблице, если известно, что после нескольких ходов во всех линиях сумма чисел не превосходит 100? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)

результаты