Математикадан республикалық олимпиада, 2016-2017 оқу жылы, 9 сынып

Есеп №1.

$1$ ,

$2$ ,

$\ldots$ ,

$2017$ сандарын келесі шарттарды қанағаттандыратын, әрқайсысы бос емес үш

$A$ ,

$B$ және

$C$ жиындарына бөлуге болады ма: кез келген

$a\in A$ ,

$b\in B$ және

$c\in C$ үшін,

$ab+c$ және

$ac+b$ сандарының ешқайсысы толық квадрат болмайтын сандар? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(4)

Есеп №2.

$\mbox{ЕҮОБ}(a,p!)=1$ болатын натурал

$a$ және жай

$p$ саны берілген.

${{a}^{(p-1)!}}-1$ санының

$p!$ -ға бөлінетінін дәлелдеңіздер. ( Ануарбеков Т. )
комментарий/решение(4)

Есеп №3.

$ABC$ үшбұрышының қабырғаларына үшбұрыштың сырт жағына қарай аудандары өзара тең болатын

$ABLK$ ,

$BCNM$ және

$CAQP$ тіктөртбұрыштары салынған.

$X$ ,

$Y$ және

$Z$ нүктелері сәйкесінше

$KQ$ ,

$LM$ және

$NP$ кесінділерінің орталары.

$AX$ ,

$BY$ және

$CZ$ түзулерінің бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіздер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2)

Есеп №4. Теңбүйірлі емес

$ABC$ үшбұрышы центрі

$O$ болатын

$\omega$ шеңберіне іштей сызылған. Үшбұрыштың

$CN$ биссектрисасы

$\omega$ -ны екінші рет

$M$ нүктесінде қисын.

$MK$ —

$BCM$ үшбұрышының биіктігі,

$P$ нүктесі —

$CM$ кесіндісінің ортасы, ал

$Q$ —

$OP$ мен

$AB$ түзулерінің қиылысу нүктесі.

$MQ$ түзуі

$\omega$ -ны екінші рет

$R$ нүктесінде қисын, ал

$BR$ мен

$MK$ түзулері

$T$ нүктесінде қиылыссын.

$NT \parallel PK$ екенін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3)

Есеп №5.

$\left| 3{{a}^{2}}-1 \right|\le 2b$ және

$\left| 3{{b}^{2}}-2 \right|\le a$ теңсіздіктері орындалатындай нақты

$a$ және

$b$ сандары берілген.

${{a}^{4}}+{{b}^{3}}\le 2$ теңсіздігін дәлелдеңіз. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(7)

Есеп №6.

$100\times 100$ тақтаның әр шаршысына

$1,2,\ldots,100$ сандарының біреуі жазылған; және тақтада осы сандардың әрқайсысы 100 реттен кездеседі. Тақтаның кез келген жолын немесе бағанын сызық деп атайық. Бір жүрісте сандарының қосындысы 100-ден үлкен кез келген сызықты алып, осы сызықтағы сандардың бәрін нөлге теңестіруге болады. Егер бірнеше жүрістен кейін әр жолдағы сандардың қосындысы 100-ден аспаса, онда тақтада нөлге тең емес ең көп дегенде қанша сан қалуы мүмкін? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)

результаты