қазақша
русскийМатематикадан республикалық олимпиада, 2016-2017 оқу жылы, 9 сынып
Есеп №1. $1$, $2$, $\ldots$, $2017$ сандарын келесі шарттарды қанағаттандыратын, әрқайсысы бос емес үш $A$, $B$ және $C$ жиындарына бөлуге болады ма: кез келген $a\in A$, $b\in B$ және $c\in C$ үшін, $ab+c$ және $ac+b$ сандарының ешқайсысы толық квадрат болмайтын сандар?
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №2. $\mbox{ЕҮОБ}(a,p!)=1$ болатын натурал $a$ және жай $p$ саны берілген. ${{a}^{(p-1)!}}-1$ санының $p!$-ға бөлінетінін дәлелдеңіздер.
(
Ануарбеков Т.
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Есеп №3. $ABC$ үшбұрышының қабырғаларына үшбұрыштың сырт жағына қарай аудандары өзара тең болатын $ABLK$, $BCNM$ және $CAQP$ тіктөртбұрыштары салынған. $X$, $Y$ және $Z$ нүктелері сәйкесінше $KQ$, $LM$ және $NP$ кесінділерінің орталары. $AX$, $BY$ және $CZ$ түзулерінің бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіздер.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №4. Теңбүйірлі емес $ABC$ үшбұрышы центрі $O$ болатын $\omega$ шеңберіне іштей сызылған. Үшбұрыштың $CN$ биссектрисасы $\omega$-ны екінші рет $M$ нүктесінде қисын. $MK$ — $BCM$ үшбұрышының биіктігі, $P$ нүктесі — $CM$ кесіндісінің ортасы, ал $Q$ — $OP$ мен $AB$ түзулерінің қиылысу нүктесі. $MQ$ түзуі $\omega$-ны екінші рет $R$ нүктесінде қисын, ал $BR$ мен $MK$ түзулері $T$ нүктесінде қиылыссын. $NT \parallel PK$ екенін дәлелдеңіз.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №5. $\left| 3{{a}^{2}}-1 \right|\le 2b$ және $\left| 3{{b}^{2}}-2 \right|\le a$ теңсіздіктері орындалатындай нақты $a$ және $b$ сандары берілген. ${{a}^{4}}+{{b}^{3}}\le 2$ теңсіздігін дәлелдеңіз.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(6)
комментарий/решение(6)
Есеп №6. $100\times 100$ тақтаның әр шаршысына $1,2,\ldots,100$ сандарының біреуі жазылған; және тақтада осы сандардың әрқайсысы 100 реттен кездеседі. Тақтаның кез келген жолын немесе бағанын сызық деп атайық. Бір жүрісте сандарының қосындысы 100-ден үлкен кез келген сызықты алып, осы сызықтағы сандардың бәрін нөлге теңестіруге болады. Егер бірнеше жүрістен кейін әр жолдағы сандардың қосындысы 100-ден аспаса, онда тақтада нөлге тең емес ең көп дегенде қанша сан қалуы мүмкін?
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)