қазақша
русскийМатематикадан аудандық олимпиада, 2016-2017 оқу жылы, 11 сынып
Есеп №1. Кез келген дөңес бесбұрыштың бес диагоналінің ішінен, олардан үшбұрыш құруға болатындай әрқашанда үшеуін таңдауға болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №2. Қосындыны табыңыз $S={{\sin }^{6}}1{}^\circ +{{\sin }^{6}}2{}^\circ +{{\sin}^{6}}3{}^\circ +\ldots +{{\sin }^{6}}87{}^\circ +{{\sin }^{6}}88{}^\circ +{{\sin}^{6}}89{}^\circ .$
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №3. Натурал сандар жиынында теңдеуді шеш: $\left( m+1 \right)!+\left( n+1 \right)!={{m}^{2}}{{n}^{2}}.$
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №4. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}$, ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}$ және ${{x}^{4}}+{{y}^{4}}$ сандары рационал екені белгілі. $x+y$ саны міндетті түрде рационал бола ма?
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №5. $ABC$ үшбұрышы $\omega $ шеңберіне іштей сызылған. Осы шеңбердің $AD$ хордасы $ABC$ үшбұрышының биссектрисасы болады және $BC$ кесіндісін $L$ нүктесінде қияды. $\omega $ шеңберінің $DE$ хордасы $AC$ қабырғасына перпендикуляр және оны $K$ нүктесінде қияды. Егер $\dfrac{BL}{LC}=\dfrac{1}{2}$ болса, онда $\dfrac{AK}{KC}$ қатынасын табыңыз.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №6. Бүкіл $x,y\in \mathbb{R}$, $y\ne 0$ үшін $yf\left( \dfrac{f\left( x \right)}{y}+1 \right)=x+f\left( y \right)$ қатынасын қанағаттандыратын барлық $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ функциясын табыңыз.
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)