Математикадан аудандық олимпиада, 2016-2017 оқу жылы, 11 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. Кез келген дөңес бесбұрыштың бес диагоналінің ішінен, олардан үшбұрыш құруға болатындай әрқашанда үшеуін таңдауға болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)

Есеп №2. Қосындыны табыңыз

$S={{\sin }^{6}}1{}^\circ +{{\sin }^{6}}2{}^\circ +{{\sin}^{6}}3{}^\circ +\ldots +{{\sin }^{6}}87{}^\circ +{{\sin }^{6}}88{}^\circ +{{\sin}^{6}}89{}^\circ .$
комментарий/решение(2)

Есеп №3. Натурал сандар жиынында теңдеуді шеш:

$\left( m+1 \right)!+\left( n+1 \right)!={{m}^{2}}{{n}^{2}}.$
комментарий/решение(3)

Есеп №4.

${{x}^{2}}+{{y}^{2}}$ ,

${{x}^{3}}+{{y}^{3}}$ және

${{x}^{4}}+{{y}^{4}}$ сандары рационал екені белгілі.

$x+y$ саны міндетті түрде рационал бола ма?
комментарий/решение(3)

Есеп №5.

$ABC$ үшбұрышы

$\omega$ шеңберіне іштей сызылған. Осы шеңбердің

$AD$ хордасы

$ABC$ үшбұрышының биссектрисасы болады және

$BC$ кесіндісін

$L$ нүктесінде қияды.

$\omega$ шеңберінің

$DE$ хордасы

$AC$ қабырғасына перпендикуляр және оны

$K$ нүктесінде қияды. Егер

$\dfrac{BL}{LC}=\dfrac{1}{2}$ болса, онда

$\dfrac{AK}{KC}$ қатынасын табыңыз.
комментарий/решение(2)

Есеп №6. Бүкіл

$x,y\in \mathbb{R}$ ,

$y\ne 0$ үшін

$yf\left( \dfrac{f\left( x \right)}{y}+1 \right)=x+f\left( y \right)$ қатынасын қанағаттандыратын барлық

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ функциясын табыңыз.
комментарий/решение(4)