Районная олимпиада, 2016-2017 учебный год, 11 класс

Вычислите сумму $S={{\sin }^{6}}{{1}^{\circ }}+{{\sin }^{6}}{{2}^{\circ }}+{{\sin }^{6}}{{3}^{\circ }}+\cdot \cdot \cdot +{{\sin }^{6}}{{87}^{\circ }}+{{\sin }^{6}}{{88}^{\circ }}+{{\sin }^{6}}{{89}^{\circ }}.$

Комментарий/решение

Рассмотрим крайние суммы, то есть $\left( {{\sin }^{6}}1{}^\circ +{{\sin }^{6}}89{}^\circ \right),$ $\left( {{\sin }^{6}}2{}^\circ +{{\sin }^{6}}88{}^\circ \right),$ $\ldots ,$ $\left( {{\sin }^{6}}44{}^\circ +{{\sin }^{6}}46{}^\circ \right).$ Останется без пары лишь ${{\cos }^{6}}45{}^\circ =1/8.$ Используя основные тригонометрические тождества, преобразуем выражение ${{\sin }^{6}}x+{{\cos }^{6}}x$. Имеем ${{\sin }^{6}}x+{{\cos }^{6}}x=$$\left( {{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x \right)\left( {{\sin }^{4}}x-{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x+{{\cos }^{4}}x \right)=$ $1\cdot \left( {{\left( {{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x \right)}^{2}}-3{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x \right)=1-\dfrac{3}{4}{{\sin }^{2}}2x$.

Тогда $S=\dfrac{1}{8}+44-\dfrac{3}{4}\cdot \sum\limits_{i=1}^{44}{{{\sin }^{2}}2i}$ . Осталось заметить, что $$\sum\limits_{i=1}^{44}{{{\sin }^{2}}2i}=\left( {{\sin }^{2}}2{}^\circ +{{\sin }^{2}}88{}^\circ \right)+\left( {{\sin }^{2}}4{}^\circ +{{\sin }^{2}}86{}^\circ \right)+\ldots +\left( {{\sin }^{2}}44{}^\circ +{{\sin }^{2}}46{}^\circ \right)=22.$$ В итоге получим $S=\dfrac{1}{8}+44-\dfrac{3}{4}\cdot 22=27\dfrac{5}{8}.$

Шешуі: sin890 = cos10, sin880 = cos20

sin610 + sin620 + sin630+ …+ sin6890 = (sin610 + cos610) + (sin620 + cos620) +…+

+(sin6440 + cos6440 ) + sin6450

sin6α + cos6α = 1 - 3sin2αcos2α формуласын пайдаланайық.

(sin610 + cos610) + (sin620 + cos620) +…+

(sin6440 + cos6440 ) + sin6450 = 1 – 3sin210cos210 + 1 – 3sin220cos220 +…+ 1 -

- 3sin2440cos2440 + sin6450 = 44 – 3(sin210 + cos210 + sin220cos220+…+

+sin2440 cos2440) + sin6450 = 44 – 3((sin210cos210 + sin2440cos2440 ) + (sin220 cos2 20+

+ sin2430cos2430 ) +…+( sin2220cos2220 + sin2230cos2230 )) + sin6450

Енді келесі теңдікті пайдаланайық

sinαcosα + sin(45 – α ) cos(45 – α))2 – 2sinαcosαsin(45 – α ) cos(45 – α)=0,25

сонымен, 44 – 3((sin10cos10 + sin440cos440)2 - 2 sin10cos10sin440cos440+…+

+ sin220cos220 + sin230cos230 )2 - 2sin220cos220sin230cos230) + sin6450 =

= 44 – 3(0,25 +0,25+ …+0,25) + (√2/2)^6= 44 - 3∙0,25∙22 + 0,125 = 27,625

Жауабы: 27,625