Районная олимпиада, 2016-2017 учебный год, 11 класс
Комментарий/решение:
Рассмотрим крайние суммы, то есть (sin61∘+sin689∘), (sin62∘+sin688∘), …, (sin644∘+sin646∘). Останется без пары лишь cos645∘=1/8. Используя основные тригонометрические тождества, преобразуем выражение sin6x+cos6x. Имеем sin6x+cos6x=(sin2x+cos2x)(sin4x−sin2xcos2x+cos4x)= 1⋅((sin2x+cos2x)2−3sin2xcos2x)=1−34sin22x.
Тогда S=18+44−34⋅44∑i=1sin22i . Осталось заметить, что 44∑i=1sin22i=(sin22∘+sin288∘)+(sin24∘+sin286∘)+…+(sin244∘+sin246∘)=22. В итоге получим S=18+44−34⋅22=2758.
Шешуі: sin890 = cos10, sin880 = cos20
sin610 + sin620 + sin630+ …+ sin6890 = (sin610 + cos610) + (sin620 + cos620) +…+
+(sin6440 + cos6440 ) + sin6450
sin6α + cos6α = 1 - 3sin2αcos2α формуласын пайдаланайық.
(sin610 + cos610) + (sin620 + cos620) +…+
(sin6440 + cos6440 ) + sin6450 = 1 – 3sin210cos210 + 1 – 3sin220cos220 +…+ 1 -
- 3sin2440cos2440 + sin6450 = 44 – 3(sin210 + cos210 + sin220cos220+…+
+sin2440 cos2440) + sin6450 = 44 – 3((sin210cos210 + sin2440cos2440 ) + (sin220 cos2 20+
+ sin2430cos2430 ) +…+( sin2220cos2220 + sin2230cos2230 )) + sin6450
Енді келесі теңдікті пайдаланайық
sinαcosα + sin(45 – α ) cos(45 – α))2 – 2sinαcosαsin(45 – α ) cos(45 – α)=0,25
сонымен, 44 – 3((sin10cos10 + sin440cos440)2 - 2 sin10cos10sin440cos440+…+
+ sin220cos220 + sin230cos230 )2 - 2sin220cos220sin230cos230) + sin6450 =
= 44 – 3(0,25 +0,25+ …+0,25) + (√2/2)^6= 44 - 3∙0,25∙22 + 0,125 = 27,625
Жауабы: 27,625
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.