Processing math: 100%

Районная олимпиада, 2016-2017 учебный год, 11 класс


Вычислите сумму S=sin61+sin62+sin63++sin687+sin688+sin689.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   1 | проверено модератором
8 года 3 месяца назад #

Рассмотрим крайние суммы, то есть (sin61+sin689), (sin62+sin688), , (sin644+sin646). Останется без пары лишь cos645=1/8. Используя основные тригонометрические тождества, преобразуем выражение sin6x+cos6x. Имеем sin6x+cos6x=(sin2x+cos2x)(sin4xsin2xcos2x+cos4x)= 1((sin2x+cos2x)23sin2xcos2x)=134sin22x.

Тогда S=18+443444i=1sin22i . Осталось заметить, что 44i=1sin22i=(sin22+sin288)+(sin24+sin286)++(sin244+sin246)=22. В итоге получим S=18+443422=2758.

  2
1 года 1 месяца назад #

Шешуі: sin890 = cos10, sin880 = cos20

sin610 + sin620 + sin630+ …+ sin6890 = (sin610 + cos610) + (sin620 + cos620) +…+

+(sin6440 + cos6440 ) + sin6450

sin6α + cos6α = 1 - 3sin2αcos2α формуласын пайдаланайық.

(sin610 + cos610) + (sin620 + cos620) +…+

(sin6440 + cos6440 ) + sin6450 = 1 – 3sin210cos210 + 1 – 3sin220cos220 +…+ 1 -

- 3sin2440cos2440 + sin6450 = 44 – 3(sin210 + cos210 + sin220cos220+…+

+sin2440 cos2440) + sin6450 = 44 – 3((sin210cos210 + sin2440cos2440 ) + (sin220 cos2 20+

+ sin2430cos2430 ) +…+( sin2220cos2220 + sin2230cos2230 )) + sin6450

Енді келесі теңдікті пайдаланайық

sinαcosα + sin(45 – α ) cos(45 – α))2 – 2sinαcosαsin(45 – α ) cos(45 – α)=0,25

сонымен, 44 – 3((sin10cos10 + sin440cos440)2 - 2 sin10cos10sin440cos440+…+

+ sin220cos220 + sin230cos230 )2 - 2sin220cos220sin230cos230) + sin6450 =

= 44 – 3(0,25 +0,25+ …+0,25) + (√2/2)^6= 44 - 3∙0,25∙22 + 0,125 = 27,625

Жауабы: 27,625