қазақша
русскийРайонная олимпиада, 2016-2017 учебный год, 11 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Доказать, что из пяти диагоналей произвольного выпуклого пятиугольника всегда можно выбрать три таких, что из них можно составить треугольник.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №2. Вычислите сумму $S={{\sin }^{6}}{{1}^{\circ }}+{{\sin }^{6}}{{2}^{\circ }}+{{\sin }^{6}}{{3}^{\circ }}+\cdot \cdot \cdot +{{\sin }^{6}}{{87}^{\circ }}+{{\sin }^{6}}{{88}^{\circ }}+{{\sin }^{6}}{{89}^{\circ }}.$
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №3. Решите в натуральных числах уравнение $\left( m+1 \right)!+\left( n+1 \right)!={{m}^{2}}{{n}^{2}}.$
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №4. Известно, что числа ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}$, ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}$ и ${{x}^{4}}+{{y}^{4}}$ являются рациональными. Обязательно ли, что $x+y$ тоже является рациональным числом?
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №5. Треугольник $ABC$ вписан в окружность $\omega $. Хорда $AD$ этой окружности является биссектрисой треугольника $ABC$ и пересекает $BC$ в точке $L$. Хорда $DE$ окружности $\omega $ перпендикулярна стороне $AC$ и пересекает её в точке $K$. Найдите $\frac{AK}{KC}$, если $\frac{BL}{LC}=\frac{1}{2}$.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №6. Найдите все функции $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, удовлетворяющие соотношению $yf\left( \dfrac{f\left( x \right)}{y}+1 \right)=x+f\left( y \right)$ для всех $x,y\in \mathbb{R},y\ne 0$.
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)