Районная олимпиада, 2016-2017 учебный год, 11 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Доказать, что из пяти диагоналей произвольного выпуклого пятиугольника всегда можно выбрать три таких, что из них можно составить треугольник.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №2. Вычислите сумму S=sin61∘+sin62∘+sin63∘+⋅⋅⋅+sin687∘+sin688∘+sin689∘.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №4. Известно, что числа x2+y2, x3+y3 и x4+y4 являются рациональными. Обязательно ли, что x+y тоже является рациональным числом?
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №5. Треугольник ABC вписан в окружность ω. Хорда AD этой окружности является биссектрисой треугольника ABC и пересекает BC в точке L. Хорда DE окружности ω перпендикулярна стороне AC и пересекает её в точке K. Найдите AKKC, если BLLC=12.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №6. Найдите все функции f:R→R, удовлетворяющие соотношению yf(f(x)y+1)=x+f(y) для всех x,y∈R,y≠0.
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)