Processing math: 100%

Районная олимпиада, 2016-2017 учебный год, 11 класс


Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1.  Доказать, что из пяти диагоналей произвольного выпуклого пятиугольника всегда можно выбрать три таких, что из них можно составить треугольник.
комментарий/решение(2)
Задача №2. Вычислите сумму S=sin61+sin62+sin63++sin687+sin688+sin689.
комментарий/решение(2)
Задача №3.  Решите в натуральных числах уравнение (m+1)!+(n+1)!=m2n2.
комментарий/решение(3)
Задача №4.  Известно, что числа x2+y2, x3+y3 и x4+y4 являются рациональными. Обязательно ли, что x+y тоже является рациональным числом?
комментарий/решение(3)
Задача №5. Треугольник ABC вписан в окружность ω. Хорда AD этой окружности является биссектрисой треугольника ABC и пересекает BC в точке L. Хорда DE окружности ω перпендикулярна стороне AC и пересекает её в точке K. Найдите AKKC, если BLLC=12.
комментарий/решение(2)
Задача №6.  Найдите все функции f:RR, удовлетворяющие соотношению yf(f(x)y+1)=x+f(y) для всех x,yR,y0.
комментарий/решение(4)