Районная олимпиада, 2016-2017 учебный год, 11 класс
Комментарий/решение:
Пусть x2+y2=A, x3+y3=B, x4+y4=C и A,B,C - рациональные чиcла
x3+y3=(x+y)(x2−xy+y2)=(x+y)(A−xy)=B и x4+y4=A2−2x2y2=C , с последнего получим x2y2=A2−C2 , то есть x2y2=D - рациональна , но (x2+y2)(x4+y4)−(x3+y3)2=x2y2(x−y)2=D(A−2xy)=AC−B2 , то есть xy=E рациональна , откуда x+y=BA−E рациональна.
шешуі: бірінші шеңбердің ұзындығы m см, диаметрінің ұзындығы n см және екінші шеңбердің ұзыныдығы p см, диаметрінің ұзындығы q см болсын делік. (m,n,p,q ∈ Q)
x=mn және y=pq деп белгілейміз, сонда
x2+y2=m2n2+p2q2=ab−рационал сан,
x3+y3=m3n3+p3q3=cd−иррационал сан,
x4+y4=m4n4+p4q4=Rl−рационал сан,
бірақ, x+y=mn+pq рационал сан емес, өйткені mn=π және pq=π болады, ал π – рационал сан емес, енді x+y=2π рационал сан емес.
Жауапы: міндетті емес
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.