Processing math: 100%

Районная олимпиада, 2016-2017 учебный год, 11 класс


Известно, что числа x2+y2, x3+y3 и x4+y4 являются рациональными. Обязательно ли, что x+y тоже является рациональным числом?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   2
8 года 3 месяца назад #

Пусть x2+y2=A, x3+y3=B, x4+y4=C и A,B,C - рациональные чиcла

x3+y3=(x+y)(x2xy+y2)=(x+y)(Axy)=B и x4+y4=A22x2y2=C , с последнего получим x2y2=A2C2 , то есть x2y2=D - рациональна , но (x2+y2)(x4+y4)(x3+y3)2=x2y2(xy)2=D(A2xy)=ACB2 , то есть xy=E рациональна , откуда x+y=BAE рациональна.

  0
8 года 3 месяца назад #

Не факт, что xy - рациональна если x2y2 - рациональна

  2
1 года 1 месяца назад #

шешуі: бірінші шеңбердің ұзындығы m см, диаметрінің ұзындығы n см және екінші шеңбердің ұзыныдығы p см, диаметрінің ұзындығы q см болсын делік. (m,n,p,q ∈ Q)

x=mn және y=pq деп белгілейміз, сонда

x2+y2=m2n2+p2q2=abрационал сан,

x3+y3=m3n3+p3q3=cdиррационал сан,

x4+y4=m4n4+p4q4=Rlрационал сан,

бірақ, x+y=mn+pq рационал сан емес, өйткені mn=π және pq=π болады, ал π – рационал сан емес, енді x+y=2π рационал сан емес.

Жауапы: міндетті емес