Районная олимпиада, 2016-2017 учебный год, 11 класс

Известно, что числа ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}$, ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}$ и ${{x}^{4}}+{{y}^{4}}$ являются рациональными. Обязательно ли, что $x+y$ тоже является рациональным числом?

Комментарий/решение

Пусть $x^2+y^2=A, \ x^3+y^3=B, \ x^4+y^4=C$ и $A,B,C$ - рациональные чиcла

$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=(x+y)(A-xy)=B$ и $ x^4+y^4=A^2-2x^2y^2=C$ , с последнего получим $x^2y^2=\dfrac{A^2-C}{2}$ , то есть $x^2y^2=D$ - рациональна , но $(x^2+y^2)(x^4+y^4)-(x^3+y^3)^2 =x^2y^2(x-y)^2 = D(A-2xy) = AC-B^2$ , то есть $xy=E$ рациональна , откуда $x+y=\dfrac{B}{A-E}$ рациональна.

Не факт, что $xy$ - рациональна если $x^2y^2$ - рациональна

шешуі: бірінші шеңбердің ұзындығы m см, диаметрінің ұзындығы n см және екінші шеңбердің ұзыныдығы p см, диаметрінің ұзындығы q см болсын делік. (m,n,p,q ∈ Q)

$x = \frac{m}{n}$ және $y = \frac{p}{q}$ деп белгілейміз, сонда

\[x^2 + y^2 = \frac{m^2}{n^2} + \frac{p^2}{q^2} = \frac{a}{b} - \text{рационал сан},\]

\[x^3 + y^3 = \frac{m^3}{n^3} + \frac{p^3}{q^3} = \frac{c}{d} - \text{иррационал сан},\]

\[x^4 + y^4 = \frac{m^4}{n^4} + \frac{p^4}{q^4} = \frac{R}{l} - \text{рационал сан},\]

бірақ, $x + y = \frac{m}{n} + \frac{p}{q}$ рационал сан емес, өйткені $\frac{m}{n} = \pi$ және $\frac{p}{q} = \pi$ болады, ал $\pi$ – рационал сан емес, енді $x + y = 2\pi$ рационал сан емес.

Жауапы: міндетті емес