Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Районная олимпиада, 2016-2017 учебный год, 11 класс


Треугольник ABC вписан в окружность ω. Хорда AD этой окружности является биссектрисой треугольника ABC и пересекает BC в точке L. Хорда DE окружности ω перпендикулярна стороне AC и пересекает её в точке K. Найдите AKKC, если BLLC=12.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1 | проверено модератором
8 года 3 месяца назад #

Положим что DK пересекает ω в точке H , тогда из условия получим ABAC=12 по свойству биссектрисы , проведем медиану BM , где MAC , тогда ΔABM равнобедренный , так как AD - биссектриса , значит она и высота ΔABM , то есть AB=AM , проведем до пересечения с ω медиану BM пусть она пересекает ее в точке X , так как DKAC , получим BDX=90A2+C и XBD=B(90A2)+A2=A+B90 , тогда из треугольника BXD получим что BXD=180(BDX+XBD)=A2 , так как BM и DK не параллельны , то есть точка X есть точка H , тогда MHD=A2=DHC как вписанные , тогда ΔMHC равнобедренный , откуда MK=KC , значит AKKC=AM+AM2AM2=3 .

Ответ : AKKC=3

  2
1 года 1 месяца назад #

Шешу: І тәсіл. (Косинустар теоремасын қолдану)}

ВАД=САД=α делік. Сонда ДВС=ДСВ=α болады, өйткені бұл бұрыштар өз ара тең доғаларға тіреліп тұр. Бұдан ВДС-нің тең бүйірлі екендігі шығады, яғни VD=SD (1).

Биссектрисаның қасиеті бойынша АВ/AC=BL/LC, яғни AB/AC=1/2 AC=2AB (2).

АДК-дан cosα=АК/АД

АДВ және АДС-дан

АД2+AC22АДACcosα=АД2+AB22АДABcosα

4AB24ABADcosα=AB22ABADcosα

AB(3AB2ADcosα)=0,

AB0. Олай болса, 3AB=2ADcosαcosα=3AB/2AD=AK/AD3/2AB=AK,

AB=1/2AC болғандықтан, AK=3/4AC

KC=ACAK болғандықтан, KC=AC3/(4)AC=1/(4)AC

Сонымен, KC=1/(4)AC, демек, AK/KC=(3/(4)AC)/(1/(4)AC)=3

Жауабы: AK/KC=3

ІІ тәсіл: ( Косинустар және Птолемей теоремасын қолдану)

VD=SD (1)

ВДС-дан косинустар теоремасы бойынша

VC2=VD2+SD22VDSDcos(1802α)=2SD2+2SD2cos2α=2SD2(1+cos2α)

VC=2SDcosα,cosα=VC/2SD

Ендеше , VC/2SD=AK/ADVCAD=2SDAK (3)

Птолемей теоремасы бойынша VCAD=ACVD+ABSD немесе

және (2) теңдіктер бойынша VCAD=2ABSD+ABSD=3ABSD

теңдік бойынша 2SDAK=3ABSD=3/(2)ACSDAK=3/(4)AC.

Әрі қарай І тәсілдегідей.