Районная олимпиада, 2016-2017 учебный год, 11 класс
Комментарий/решение:
Положим что DK пересекает ω в точке H , тогда из условия получим ABAC=12 по свойству биссектрисы , проведем медиану BM , где M∈AC , тогда ΔABM равнобедренный , так как AD - биссектриса , значит она и высота ΔABM , то есть AB=AM , проведем до пересечения с ω медиану BM пусть она пересекает ее в точке X , так как DK⊥AC , получим ∠BDX=90∘−A2+∠C и ∠XBD=∠B−(90∘−A2)+A2=∠A+B−90∘ , тогда из треугольника BXD получим что ∠BXD=180∘−(∠BDX+∠XBD)=A2 , так как BM и DK не параллельны , то есть точка X есть точка H , тогда ∠MHD=A2=∠DHC как вписанные , тогда ΔMHC равнобедренный , откуда MK=KC , значит AKKC=AM+AM2AM2=3 .
Ответ : AKKC=3
Шешу: І тәсіл. (Косинустар теоремасын қолдану)}
∠ВАД=∠САД=α делік. Сонда ∠ДВС=∠ДСВ=α болады, өйткені бұл бұрыштар өз ара тең доғаларға тіреліп тұр. Бұдан △ВДС-нің тең бүйірлі екендігі шығады, яғни VD=SD (1).
Биссектрисаның қасиеті бойынша АВ/AC=BL/LC, яғни AB/AC=1/2 ⇒AC=2AB (2).
△АДК-дан cosα=АК/АД
△АДВ және △АДС-дан
АД2+AC2−2АД⋅ACcosα=АД2+AB2−2АД⋅ABcosα
4AB2−4AB⋅ADcosα=AB2−2AB⋅ADcosα
⇒AB(3AB−2ADcosα)=0,
AB≠0. Олай болса, 3AB=2ADcosα⇒cosα=3AB/2AD=AK/AD⇒3/2AB=AK,
AB=1/2AC болғандықтан, AK=3/4AC
KC=AC−AK болғандықтан, KC=AC−3/(4)AC=1/(4)AC
Сонымен, KC=1/(4)AC, демек, AK/KC=(3/(4)AC)/(1/(4)AC)=3
Жауабы: AK/KC=3
ІІ тәсіл: ( Косинустар және Птолемей теоремасын қолдану)
VD=SD (1)
△ВДС-дан косинустар теоремасы бойынша
VC2=VD2+SD2−2VD⋅SDcos(180−2α)=2SD2+2SD2cos2α=2SD2(1+cos2α)
⇒VC=2SDcosα,cosα=VC/2SD
Ендеше , VC/2SD=AK/AD⇒VC⋅AD=2SD⋅AK (3)
Птолемей теоремасы бойынша VC⋅AD=AC⋅VD+AB⋅SD немесе
және (2) теңдіктер бойынша VC⋅AD=2AB⋅SD+AB⋅SD=3AB⋅SD
теңдік бойынша 2SD⋅AK=3AB⋅SD=3/(2)AC⋅SD⇒AK=3/(4)AC.
Әрі қарай І тәсілдегідей.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.