Районная олимпиада, 2016-2017 учебный год, 11 класс

Треугольник $ABC$ вписан в окружность $\omega $. Хорда $AD$ этой окружности является биссектрисой треугольника $ABC$ и пересекает $BC$ в точке $L$. Хорда $DE$ окружности $\omega $ перпендикулярна стороне $AC$ и пересекает её в точке $K$. Найдите $\frac{AK}{KC}$, если $\frac{BL}{LC}=\frac{1}{2}$.

Комментарий/решение

Положим что $DK$ пересекает $\omega$ в точке $H$ , тогда из условия получим $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{1}{2}$ по свойству биссектрисы , проведем медиану $BM$ , где $M \in AC$ , тогда $\Delta ABM$ равнобедренный , так как $AD$ - биссектриса , значит она и высота $\Delta ABM$ , то есть $AB=AM$ , проведем до пересечения с $\omega$ медиану $BM$ пусть она пересекает ее в точке $X$ , так как $DK \perp AC$ , получим $\angle BDX = 90^{\circ}-\dfrac{A}{2}+\angle C$ и $\angle XBD = \angle B - (90^{\circ}-\dfrac{A}{2})+\dfrac{A}{2} = \angle A+B-90^{\circ}$ , тогда из треугольника $BXD$ получим что $\angle BXD = 180^{\circ}-(\angle BDX + \angle XBD) = \dfrac{A}{2}$ , так как $BM$ и $DK$ не параллельны , то есть точка $X$ есть точка $H$ , тогда $\angle MHD = \dfrac{A}{2} = \angle DHC$ как вписанные , тогда $\Delta MHC$ равнобедренный , откуда $MK=KC$ , значит $\dfrac{AK}{KC} = \dfrac{AM+\dfrac{AM}{2}}{\dfrac{AM}{2}} = 3$ .

Ответ : $\dfrac{AK}{KC}=3$

Шешу: І тәсіл. (Косинустар теоремасын қолдану)}

$\angle ВАД = \angle САД = \alpha$ делік. Сонда $\angle ДВС = \angle ДСВ = \alpha$ болады, өйткені бұл бұрыштар өз ара тең доғаларға тіреліп тұр. Бұдан $\triangle ВДС$-нің тең бүйірлі екендігі шығады, яғни $VD = SD$ (1).

Биссектрисаның қасиеті бойынша $АВ/AC = BL/LC$, яғни $AB/AC = 1/2$ $\Rightarrow AC = 2AB$ (2).

$\triangle АДК$-дан $\cos\alpha = АК/АД$

$\triangle АДВ$ және $\triangle АДС$-дан

$АД^2 + AC^2 - 2АД \cdot AC\cos\alpha = АД^2 + AB^2 - 2АД \cdot AB\cos\alpha$

$4AB^2 − 4AB\cdot AD \cos\alpha = AB^2 − 2AB \cdot AD \cos\alpha$

$\Rightarrow AB(3AB − 2AD \cos\alpha) = 0$,

$AB \neq 0$. Олай болса, $3AB = 2AD \cos\alpha \Rightarrow \cos\alpha = 3AB/2AD = AK/AD \Rightarrow 3/2 AB = AK$,

$AB = 1/2 AC$ болғандықтан, $AK = 3/4 AC$

$KC = AC − AK$ болғандықтан, $KC = AC − 3/( 4) AC= 1/( 4) AC$

Сонымен, $KC = 1/( 4) AC$, демек, $AK/KC = (3/( 4) AC)/(1/( 4) AC) = 3$

Жауабы: $AK/KC =3$

ІІ тәсіл: ( Косинустар және Птолемей теоремасын қолдану)

$VD = SD$ (1)

$\triangle ВДС$-дан косинустар теоремасы бойынша

$VC^2 = VD^2 + SD^2 − 2VD \cdot SD\cos(180 - 2\alpha)= 2SD^2 +2SD^2 \cos^2\alpha= 2SD^2(1+ \cos^2\alpha)$

$\Rightarrow VC = 2SD\cos\alpha, \cos\alpha = VC/2SD$

Ендеше , $VC/2SD = AK/AD \Rightarrow VC \cdot AD = 2SD \cdot AK$ (3)

Птолемей теоремасы бойынша $VC \cdot AD = AC\cdot VD + AB\cdot SD$ немесе

және (2) теңдіктер бойынша $VC \cdot AD = 2AB \cdot SD + AB \cdot SD = 3AB \cdot SD$

теңдік бойынша $2SD \cdot AK = 3AB \cdot SD = 3/( 2) AC \cdot SD \Rightarrow AK= 3/( 4) AC$.

Әрі қарай І тәсілдегідей.