Processing math: 24%

Районная олимпиада, 2016-2017 учебный год, 11 класс


Решите в натуральных числах уравнение (m+1)!+(n+1)!=m2n2.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  4 | проверено модератором
8 года 3 месяца назад #

Пусть nm, тогда

m2n2=(m+1)!+(n+1)!>(n+1)!>n4m2n2

Ибо (n+1)!>n4 для всех n>4 по индукции верно. Дальше остается разобрать случаи n=1,2,3,4 .

  3
8 года 3 месяца назад #

Левая часть четная, значит правая тоже, но правая есть квадрат, значит делится на 4, тогда левая тоже делится на 4, значит m,n, откуда ответом будет пара 3 и 4.

  2
1 года 1 месяца назад #

m! > m^4 (m ≥ 7) яғни (m - 1)! > m^3.

Енді 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (m - 2) \cdot (m - 1) > m^3 екендігіне көз жеткізейік, ол үшін (m - 4) \cdot (m - 3) \cdot (m - 2) \cdot (m - 1) > m^3 болатындығын көрсетсек жеткілікті:

m^3 (m - 10) + 35m^2 - 50m + 24 > m^3

m^3 (m - 10) > m^3 \ (m > 11).

Ал, 35m^2 - 50m + 24 > 0 кез келген m үшін оындалады. Сонда:

m^3(m - 10) + 35m^2 - 50m + 24 > m^3 \ (m \geq 7).

Демек, m! > m^4 ендеше, (m + 1)! > m^4 және (n + 1)! > n^4 \ (m \geq 5, n \geq 5).

Осыдан, (m + 1)! + (n + 1)! > m^4 + n^4 \geq 2m^2n^2 > m^2n^2.

Егерде есептің берілгеніне жүгінсек, онда келесі теңсіздікті аламыз:

(m + 1)! + (n + 1)! \geq m^2n^2.

Ендігі жағдайда m мен n–ң қандай мәндерінде теңдіктің орындалатындығын анықтайық:

(m + 1)! + (n + 1)! = m^2n^2 \ (1 \leq m < 5, \ 1 \leq n < 5)

m < n және n = m + 1 болсын делік.

m = 1, n = 1+1, 2! + 3! ≠ 12 ∙22

m = 2, n = 2+1 3! + 4! ≠ 22 ∙32

m = 3, n = 3+1 4! + 5! = 32∙42 демек, m = 3, n = 4

m ≥ n, m = n + 1 жағдайында m = 4, n = 3. m = n болғанда 2(m + 1)! = m4 ⇒ ((m + 1)! )/m^4 = 1/2 бұлай болуы мүмкін емес, өйткені (m + 1)! > m4 (m ≥ 5)

Жауабы: ( 3;4), (4;3)