Районная олимпиада, 2016-2017 учебный год, 11 класс
Комментарий/решение:
m! > m^4 (m ≥ 7) яғни (m - 1)! > m^3.
Енді 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (m - 2) \cdot (m - 1) > m^3 екендігіне көз жеткізейік, ол үшін (m - 4) \cdot (m - 3) \cdot (m - 2) \cdot (m - 1) > m^3 болатындығын көрсетсек жеткілікті:
m^3 (m - 10) + 35m^2 - 50m + 24 > m^3
m^3 (m - 10) > m^3 \ (m > 11).
Ал, 35m^2 - 50m + 24 > 0 кез келген m үшін оындалады. Сонда:
m^3(m - 10) + 35m^2 - 50m + 24 > m^3 \ (m \geq 7).
Демек, m! > m^4 ендеше, (m + 1)! > m^4 және (n + 1)! > n^4 \ (m \geq 5, n \geq 5).
Осыдан, (m + 1)! + (n + 1)! > m^4 + n^4 \geq 2m^2n^2 > m^2n^2.
Егерде есептің берілгеніне жүгінсек, онда келесі теңсіздікті аламыз:
(m + 1)! + (n + 1)! \geq m^2n^2.
Ендігі жағдайда m мен n–ң қандай мәндерінде теңдіктің орындалатындығын анықтайық:
(m + 1)! + (n + 1)! = m^2n^2 \ (1 \leq m < 5, \ 1 \leq n < 5)
m < n және n = m + 1 болсын делік.
m = 1, n = 1+1, 2! + 3! ≠ 12 ∙22
m = 2, n = 2+1 3! + 4! ≠ 22 ∙32
m = 3, n = 3+1 4! + 5! = 32∙42 демек, m = 3, n = 4
m ≥ n, m = n + 1 жағдайында m = 4, n = 3. m = n болғанда 2(m + 1)! = m4 ⇒ ((m + 1)! )/m^4 = 1/2 бұлай болуы мүмкін емес, өйткені (m + 1)! > m4 (m ≥ 5)
Жауабы: ( 3;4), (4;3)
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.