Математикадан аудандық олимпиада, 2016-2017 оқу жылы, 11 сынып
Комментарий/решение:
m!>m4 (m ≥ 7) яғни (m−1)!>m3.
Енді 1⋅2⋅3⋅…⋅(m−2)⋅(m−1)>m3 екендігіне көз жеткізейік, ол үшін (m−4)⋅(m−3)⋅(m−2)⋅(m−1)>m3 болатындығын көрсетсек жеткілікті:
m3(m−10)+35m2−50m+24>m3
m3(m−10)>m3 (m>11).
Ал, 35m2−50m+24>0 кез келген m үшін оындалады. Сонда:
m3(m−10)+35m2−50m+24>m3 (m≥7).
Демек, m!>m4 ендеше, (m+1)!>m4 және (n+1)!>n4 (m≥5,n≥5).
Осыдан, (m+1)!+(n+1)!>m4+n4≥2m2n2>m2n2.
Егерде есептің берілгеніне жүгінсек, онда келесі теңсіздікті аламыз:
(m+1)!+(n+1)!≥m2n2.
Ендігі жағдайда m мен n–ң қандай мәндерінде теңдіктің орындалатындығын анықтайық:
(m+1)!+(n+1)!=m2n2 (1≤m<5, 1≤n<5)
m<n және n=m+1 болсын делік.
m = 1, n = 1+1, 2! + 3! ≠ 12 ∙22
m = 2, n = 2+1 3! + 4! ≠ 22 ∙32
m = 3, n = 3+1 4! + 5! = 32∙42 демек, m = 3, n = 4
m ≥ n, m = n + 1 жағдайында m = 4, n = 3. m = n болғанда 2(m + 1)! = m4 ⇒ ((m + 1)! )/m^4 = 1/2 бұлай болуы мүмкін емес, өйткені (m + 1)! > m4 (m ≥ 5)
Жауабы: ( 3;4), (4;3)
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.