Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан аудандық олимпиада, 2016-2017 оқу жылы, 11 сынып


Натурал сандар жиынында теңдеуді шеш: (m+1)!+(n+1)!=m2n2.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  4 | Модератормен тексерілді
8 года 4 месяца назад #

Пусть nm, тогда

m2n2=(m+1)!+(n+1)!>(n+1)!>n4m2n2

Ибо (n+1)!>n4 для всех n>4 по индукции верно. Дальше остается разобрать случаи n=1,2,3,4 .

  3
8 года 4 месяца назад #

Левая часть четная, значит правая тоже, но правая есть квадрат, значит делится на 4, тогда левая тоже делится на 4, значит m,n3, откуда ответом будет пара 3 и 4.

  2
1 года 2 месяца назад #

m!>m4 (m ≥ 7) яғни (m1)!>m3.

Енді 123(m2)(m1)>m3 екендігіне көз жеткізейік, ол үшін (m4)(m3)(m2)(m1)>m3 болатындығын көрсетсек жеткілікті:

m3(m10)+35m250m+24>m3

m3(m10)>m3 (m>11).

Ал, 35m250m+24>0 кез келген m үшін оындалады. Сонда:

m3(m10)+35m250m+24>m3 (m7).

Демек, m!>m4 ендеше, (m+1)!>m4 және (n+1)!>n4 (m5,n5).

Осыдан, (m+1)!+(n+1)!>m4+n42m2n2>m2n2.

Егерде есептің берілгеніне жүгінсек, онда келесі теңсіздікті аламыз:

(m+1)!+(n+1)!m2n2.

Ендігі жағдайда m мен n–ң қандай мәндерінде теңдіктің орындалатындығын анықтайық:

(m+1)!+(n+1)!=m2n2 (1m<5, 1n<5)

m<n және n=m+1 болсын делік.

m = 1, n = 1+1, 2! + 3! ≠ 12 ∙22

m = 2, n = 2+1 3! + 4! ≠ 22 ∙32

m = 3, n = 3+1 4! + 5! = 32∙42 демек, m = 3, n = 4

m ≥ n, m = n + 1 жағдайында m = 4, n = 3. m = n болғанда 2(m + 1)! = m4 ⇒ ((m + 1)! )/m^4 = 1/2 бұлай болуы мүмкін емес, өйткені (m + 1)! > m4 (m ≥ 5)

Жауабы: ( 3;4), (4;3)