Математикадан аудандық олимпиада, 2016-2017 оқу жылы, 11 сынып

Кез келген дөңес бесбұрыштың бес диагоналінің ішінен, олардан үшбұрыш құруға болатындай әрқашанда үшеуін таңдауға болатынын дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Можно доказать от противного.

Допустим ,что нельзя построить треугольник через 3 диагоналей пятиугольника. Значит для всех диагоналей будет верно : $a+b<c , a+c<b, ........ ,d+e<a$ и $a-b>c,.........d-e>b$, где $a,b,c,d,e$-длины диагоналей пятиугольника.Тогда суммируя эти неравенства можно получить , что $2*a<0, ..... , 2*e<0$. Противоречие, так как длины диагоналей не могут быть отрицательными числами.

Есеп: Бесбұрыштың бес диагоналі болады, оларды екі түске бояймыз. Олай болса, Дирихле принципі (m > nk) бойынша $5 > 2 \cdot 2$, ендеше бес диагоналінің ішінен ($m = 5, k = 2$) әрқашан үшбұрыш құруға болатындай үшеуін таңдауға болады. Яғни, $C_3^5 = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{6} = 10$ тең үшбұрыш ішінен қабырғалары бір түске боялған бір үшбұрыш әрқашан табылады. $AC + AD > BE$, өйткені $AB + AE > BE$, ал $AC > AB$ және $AD > AE$.