Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Районная олимпиада, 2016-2017 учебный год, 11 класс


Найдите все функции f:RR, удовлетворяющие соотношению yf(f(x)y+1)=x+f(y) для всех x,yR,y0.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
8 года 3 месяца назад #

Ответ:f(x)=x

Решение. Для начала разделим обе части на y и получим f(f(x)y+1)=xy+f(y)y. условие выполнимо для всех x,y, то оно также выполнится и при x=y. Тогда f(f(x)x+1)=xx+f(x)x. Пусть t=f(x)x+1, тогда f(t)=t. Это равносильно ответу

  0
5 года 8 месяца назад #

Чтобы заменить f(x)x+1 на t. Ты должен доказать то что f(x)x+1 сюръективна.

  2 | проверено модератором
8 года 3 месяца назад #

P(x,y):yf(f(x)y+1)=x+f(y)

Пусть f(a)=f(b). Тогда P(a,y)=P(b,y)a+f(y)=b+f(y)a=b. Функция f - инъективная.

P(0,1):f(f(0)+1)=f(1)f(0)+1=1f(0)=0

P(0,y):yf(1)=f(y). Значит функция f - линейная (т.е. f(x)=cx)

P(x,y):y(c2xy+c)=x+cyc2=1c=±1. Ответ: f(x)=±x.

  0
1 года 1 месяца назад #

Шешуі: f(f(x)y+1)=x+f(y),

y=f(x) деп берілген қатынасқа қояйық.

f(x)f(f(x)f(x)+1)=x+f(f(x))2f(x)f=x+f(f(x)), осыдан

f=x+f(f(x))2f(x).

y=f(x)x=f(y) деп қойсақ,

f(x)f(f(x)f(x)+1)=2x2f(x)f=2x, бұдан f=xf(x).

Жауабы: f=x+f(f(x))2f(x), f=xf(x), RR.