Районная олимпиада, 2016-2017 учебный год, 11 класс
Найдите все функции f:R→R, удовлетворяющие соотношению yf(f(x)y+1)=x+f(y) для всех x,y∈R,y≠0.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
P(x,y):yf(f(x)y+1)=x+f(y)
Пусть f(a)=f(b). Тогда P(a,y)=P(b,y)⇒a+f(y)=b+f(y)⇒a=b. Функция f - инъективная.
P(0,1):f(f(0)+1)=f(1)⇒f(0)+1=1⇔f(0)=0
P(0,y):yf(1)=f(y). Значит функция f - линейная (т.е. f(x)=cx)
P(x,y):y(c2xy+c)=x+cy⇔c2=1⇒c=±1. Ответ: f(x)=±x.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.