Математикадан аудандық олимпиада, 2016-2017 оқу жылы, 11 сынып

Бүкіл $x,y\in \mathbb{R}$, $y\ne 0$ үшін $yf\left( \dfrac{f\left( x \right)}{y}+1 \right)=x+f\left( y \right)$ қатынасын қанағаттандыратын барлық $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ функциясын табыңыз.

Комментарий/решение

Ответ:$f (x)=x$

Решение. Для начала разделим обе части на $y$ и получим $f (\dfrac {f ( x)}{y}+1)=\dfrac {x}{y}+\dfrac {f (y)}{y}$. условие выполнимо для всех $x,y$, то оно также выполнится и при $x=y$. Тогда $$f (\dfrac {f (x)}{x}+1)=\dfrac {x}{x}+\dfrac {f (x)}{x}$$ . Пусть $t=\dfrac {f (x)}{x}+1$, тогда $f (t)=t$. Это равносильно ответу

Чтобы заменить $\dfrac{f(x)}{x}+1$ на $t$. Ты должен доказать то что $\dfrac{f(x)}{x}+1$ сюръективна.

$P(x,y): yf\left(\dfrac{f(x)}{y}+1\right)=x+f(y)$

Пусть $f(a)=f(b)$. Тогда $P(a,y)=P(b,y) \Rightarrow a+f(y)=b+f(y) \Rightarrow a=b$. Функция $f$ - инъективная.

$P(0,1): f\left(f(0)+1\right)=f(1) \Rightarrow f(0)+1=1 \Leftrightarrow f(0)=0$

$P(0,y): yf\left(1\right)=f(y)$. Значит функция $f$ - линейная (т.е. $f(x)=cx$)

$P(x,y): y\left(\dfrac{c^2x}{y}+c\right)=x+cy \Leftrightarrow c^2=1 \Rightarrow c=\pm 1$. Ответ: $f(x)=\pm x$.

Шешуі: $f\left(\frac{f(x)}{y} + 1\right) = x + f(y)$,

$y = f(x)$ деп берілген қатынасқа қояйық.

$f(x)f\left(\frac{f(x)}{f(x)} + 1\right) = x + f(f(x)) \Rightarrow 2f(x)f = x + f(f(x))$, осыдан

$$f = \frac{x + f(f(x))}{2f(x)}$$ .

$y = f(x) \Leftrightarrow x = f(y)$ деп қойсақ,

$f(x)f\left(\frac{f(x)}{f(x)} + 1\right) = 2x \Rightarrow 2f(x)f = 2x$, бұдан $f = \frac{x}{f(x)}$.

Жауабы: $f = \frac{x + f(f(x))}{2f(x)}$, $f = \frac{x}{f(x)}$, $R \rightarrow R$.