Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Жоғары лига. 2003 жыл

Есеп №1.

$2003\times 2004$ тіктөртбұрышы бірлік шаршыларға бөлінсін. Төрт шаршының диагональдарымен шектелген ромбыларды қарастырайық. Жанаспайтын және ортақ нүктелері жоқ, ең көп дегенде неше осындай ромбыларды осы тіктөртбұрышқа орналастыруға болады?
комментарий/решение

Есеп №2.

$ABCD$ тіктөртбұрышында,

$AB$ және

$CD$ қабырғалары тең,

$\angle A=150{}^\circ$ ,

$\angle B=44{}^\circ$ ,

$\angle C=72{}^\circ$ .

$AD$ кесіндісіне жүргізілген орта перпендикуляр

$BC$ қабырғасын

$P$ нүктесінде қияды.

$\angle APD$ бұрышын табыңыз.
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$A$ алфавитінде

$n$ әріп бар.

$S$ жиыны саны шектеулі, осы алфавиттің әріптерінен құралған. Кез-келген шексіз,

$A$ алфавитінің әріптерінен құралған тізбек,

$S$ жиынының дәл бір сөзінен басталады.

$S$ жиыны шектеулі екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение

Есеп №4. Барлық нақты

$x > 0$ үшін берілген, барлық үзіліссіз

$f(x)$ функцияларын табыңыз, егер кез-келген

$x,y > 0$ үшін келесі теңдік орындалса:

$f\left( x+\dfrac{1}{x} \right)+f\left( y+\dfrac{1}{y} \right)=f\left( x+\dfrac{1}{y} \right)+f\left( y+\dfrac{1}{x} \right)$ .
комментарий/решение

Есеп №5.

$(0,\pi /2)$ интервалында берілген, кез-келген

${{\alpha }_{1}}$ ,

${{\alpha }_{2}}$ ,

$\ldots$ ,

${{\alpha }_{n}}$ үшін, келесі теңсіздікті дәлелдеңіз:

$\left( \dfrac{1}{\sin {{\alpha }_{1}}}+\dfrac{1}{\sin {{\alpha }_{2}}}+\ldots+\dfrac{1}{\sin {{\alpha }_{n}}} \right)\left( \dfrac{1}{\cos {{\alpha }_{1}}}+\dfrac{1}{\cos {{\alpha }_{2}}}+\ldots+\dfrac{1}{\cos {{\alpha }_{n}}} \right)\le 2{{\left( \dfrac{1}{\sin 2{{\alpha }_{1}}}+\dfrac{1}{\sin 2{{\alpha }_{2}}}+\ldots+\dfrac{1}{\sin 2{{\alpha }_{n}}} \right)}^{2}}$ .
комментарий/решение(1)

Есеп №6. 1-ден 1000000-ға дейінгі аралықта қандай сандар көп: бүтін

$x$ пен

$y$ үшін,

$2{{x}^{2}}-3{{y}^{2}}$ түріндегі сандар немесе

$10xy-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}$ түріндегі сандар?
комментарий/решение(1)

Есеп №7. Дөңес

$ABCD$ төртбұрышында,

$AB\cdot CD=BC\cdot DA$ және

$2\angle A+\angle C=180{}^\circ$ қатынастары орындалады.

$P$ нүктесі

$ABD$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер бойында жатыр және

$A$ нүктесін қамтымайтын

$BD$ доғасын ортасынан бөледі.

$P$ нүктесі

$ABCD$ төртбұрышының ішінде орналасқаны белгілі.

$\angle BCA=\angle DCP$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение

Есеп №8.

$a$ натурал саны және бүтін теріс емес коэффициенттері бар

$f(x)$ көпмүшесі берілсін.

${{a}_{1}}=a$ ,

${{a}_{n+1}}=f({{a}_{n}})$ ережесі бойынша құралған тізбекті қарастырайық. Осы тізбектін кем дегенде бір мүшесін бөлетін, жай сандар жиыны шексіз емес екені белгілі. Кейбір бүтін теріс емес

$c$ және

$k$ үшін,

$f(x)=c{{x}^{k}}$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение