қазақша
русскийМатематикадан «Туймаада» олимпиадасы. Жоғары лига. 2003 жыл
Есеп №1. $2003\times 2004$ тіктөртбұрышы бірлік шаршыларға бөлінсін. Төрт шаршының диагональдарымен шектелген ромбыларды қарастырайық. Жанаспайтын және ортақ нүктелері жоқ, ең көп дегенде неше осындай ромбыларды осы тіктөртбұрышқа орналастыруға болады?
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №2. $ABCD$ тіктөртбұрышында, $AB$ және $CD$ қабырғалары тең, $\angle A=150{}^\circ $, $\angle B=44{}^\circ $, $\angle C=72{}^\circ $. $AD$ кесіндісіне жүргізілген орта перпендикуляр $BC$ қабырғасын $P$ нүктесінде қияды. $\angle APD$ бұрышын табыңыз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. $A$ алфавитінде $n$ әріп бар. $S$ жиыны саны шектеулі, осы алфавиттің әріптерінен құралған. Кез-келген шексіз, $A$ алфавитінің әріптерінен құралған тізбек, $S$ жиынының дәл бір сөзінен басталады. $S$ жиыны шектеулі екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. Барлық нақты $x > 0$ үшін берілген, барлық үзіліссіз $f(x)$ функцияларын табыңыз, егер кез-келген $x,y > 0$ үшін келесі теңдік орындалса: $f\left( x+\dfrac{1}{x} \right)+f\left( y+\dfrac{1}{y} \right)=f\left( x+\dfrac{1}{y} \right)+f\left( y+\dfrac{1}{x} \right)$.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №5. $(0,\pi /2)$ интервалында берілген, кез-келген ${{\alpha }_{1}}$, ${{\alpha }_{2}}$, $\ldots$, ${{\alpha }_{n}}$ үшін, келесі теңсіздікті дәлелдеңіз: $\left( \dfrac{1}{\sin {{\alpha }_{1}}}+\dfrac{1}{\sin {{\alpha }_{2}}}+\ldots+\dfrac{1}{\sin {{\alpha }_{n}}} \right)\left( \dfrac{1}{\cos {{\alpha }_{1}}}+\dfrac{1}{\cos {{\alpha }_{2}}}+\ldots+\dfrac{1}{\cos {{\alpha }_{n}}} \right)\le 2{{\left( \dfrac{1}{\sin 2{{\alpha }_{1}}}+\dfrac{1}{\sin 2{{\alpha }_{2}}}+\ldots+\dfrac{1}{\sin 2{{\alpha }_{n}}} \right)}^{2}}$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. 1-ден 1000000-ға дейінгі аралықта қандай сандар көп: бүтін $x$ пен $y$ үшін, $2{{x}^{2}}-3{{y}^{2}}$ түріндегі сандар немесе $10xy-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}$ түріндегі сандар?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №7. Дөңес $ABCD$ төртбұрышында, $AB\cdot CD=BC\cdot DA$ және $2\angle A+\angle C=180{}^\circ $ қатынастары орындалады. $P$ нүктесі $ABD$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер бойында жатыр және $A$ нүктесін қамтымайтын $BD$ доғасын ортасынан бөледі. $P$ нүктесі $ABCD$ төртбұрышының ішінде орналасқаны белгілі. $\angle BCA=\angle DCP$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №8. $a$ натурал саны және бүтін теріс емес коэффициенттері бар $f(x)$ көпмүшесі берілсін. ${{a}_{1}}=a$, ${{a}_{n+1}}=f({{a}_{n}})$ ережесі бойынша құралған тізбекті қарастырайық. Осы тізбектін кем дегенде бір мүшесін бөлетін, жай сандар жиыны шексіз емес екені белгілі. Кейбір бүтін теріс емес $c$ және $k$ үшін, $f(x)=c{{x}^{k}}$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение
комментарий/решение