Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2003 год


Докажите, что для любых α1, α2, , αn, принадлежащих интервалу (0,π/2), (1sinα1+1sinα2++1sinαn)(1cosα1+1cosα2++1cosαn) 2(1sin2α1+1sin2α2++1sin2αn)2.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
5 года 10 месяца назад #

(1kn1sinαk)(1kn1cosαk)2(1kn1sin2αk)2(1)

(1)2(1kn1sinαk)(1kn1cosαk)(1kn1sinαkcosαk)2(2)

αk(0,π/2):0<sinαk<11sinαk>1

xk=1sinαk,yk=1cosαkxkyk=x2k+y2k

xk>1,yk>12(1knxk)(1knyk)(1knx2k+y2k)2(3)

2(1knxk)(1knyk)(1knxk)2+(1knyk)2=

=1kn(x2k+y2k)+21jkn(xjxk+yjyk)

1kn(x2k+y2k)+21jkn(x2j+y2jx2k+y2k)=(1knx2k+y2k)2