Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2003 год
Докажите, что для любых α1, α2, …, αn,
принадлежащих интервалу (0,π/2),
(1sinα1+1sinα2+…+1sinαn)(1cosα1+1cosα2+…+1cosαn)≤
≤2(1sin2α1+1sin2α2+…+1sin2αn)2.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
(∑1≤k≤n1sinαk)(∑1≤k≤n1cosαk)≤2(∑1≤k≤n1sin2αk)2(1)
(1)⇔2(∑1≤k≤n1sinαk)(∑1≤k≤n1cosαk)≤(∑1≤k≤n1sinαk⋅cosαk)2(2)
∀αk∈(0,π/2):0<sinαk<1⇒1sinαk>1
xk=1sinαk,yk=1cosαk⇔xkyk=√x2k+y2k
∀xk>1,∀yk>12(∑1≤k≤nxk)(∑1≤k≤nyk)≤(∑1≤k≤n√x2k+y2k)2(3)
2(∑1≤k≤nxk)(∑1≤k≤nyk)≤(∑1≤k≤nxk)2+(∑1≤k≤nyk)2=
=∑1≤k≤n(x2k+y2k)+2⋅∑1≤j≠k≤n(xjxk+yjyk⏟≤)≤
≤∑1≤k≤n(x2k+y2k)+2⋅∑1≤j≠k≤n(√x2j+y2j⋅√x2k+y2k)=(∑1≤k≤n√x2k+y2k)2
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.