Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2003 год

Задача №1. Прямоугольник

$2003\times 2004$ разбит на единичные квадраты. Рассмотрим ромбы, ограниченные четырьмя диагоналями единичных квадратов. Какое наибольшее количество таких ромбов, никакие два из которых не имеют общих точек, отличных от вершин, можно разместить в этом прямоугольнике?
комментарий/решение

Задача №2. В четырехугольнике

$ABCD$ стороны

$AB$ и

$CD$ равны,

$\angle A=150^\circ$ ,

$\angle B=44^\circ$ ,

$\angle C=72^\circ$ . Серединный перпендикуляр к отрезку

$AD$ пересекает сторону

$BC$ в точке

$P$ . Найдите

$\angle APD$ .
комментарий/решение(1)

Задача №3. Алфавит

$A$ состоит из

$n$ букв.

$S$ — множество слов конечной длины, составленных из букв этого алфавита. Известно, что любая бесконечная последовательность букв алфавита

$A$ начинается ровно с одного из слов множества

$S$ . Докажите, что множество

$S$ конечно.
комментарий/решение

Задача №4. Найдите все непрерывные функции

$f(x)$ , заданные при всех вещественных

$x > 0$ и такие, что для любых

$x$ ,

$y > 0$

$f\left(x+{1\over x}\right)+f\left(y+{1\over y}\right)= f\left(x+{1\over y}\right)+f\left(y+{1\over x}\right) .$
комментарий/решение

Задача №5. Докажите, что для любых

$\alpha_1$ ,

$\alpha_2$ ,

$\dots$ ,

$\alpha_n$ , принадлежащих интервалу

$(0,\pi/2)$ ,

$\left( {1\over \sin \alpha_1} + {1\over \sin \alpha_2} + \ldots + {1\over \sin \alpha_n} \right) \left( {1\over \cos \alpha_1} + {1\over \cos \alpha_2} + \ldots + {1\over \cos \alpha_n} \right) \leq$

$\leq 2 \left( {1\over \sin 2\alpha_1} + {1\over \sin 2\alpha_2} + \ldots + {1\over \sin 2\alpha_n} \right)^2 .$
комментарий/решение(1)

Задача №6. Каких чисел больше в промежутке от 1 до 1000000: представимых в виде

$2x^2 - 3y^2$ с целыми

$x$ и

$y$ или представимых в виде

$10xy - x^2 - y^2$ с целыми

$x$ и

$y$ ?
комментарий/решение(1)

Задача №7. В выпуклом четырехугольнике

$ABCD$ выполнены соотношения

$AB\cdot CD=BC\cdot DA$ и

$2\angle A+\angle C=180^\circ$ . Точка

$P$ лежит на описанной окружности треугольника

$ABD$ и делит пополам дугу

$BD$ , не содержащую точку

$A$ . Известно, что точка

$P$ лежит внутри четырехугольника

$ABCD$ . Докажите, что

$\angle BCA=\angle DCP$ .
комментарий/решение

Задача №8. Дан многочлен

$f(x)$ с целыми неотрицательными коэффициентами и натуральное число

$a$ . Рассмотрим последовательность, заданную правилами

$a_1=a$ ,

$a_{n+1}=f(a_n)$ . Известно, что множество простых чисел, делящих хотя бы один из членов этой последовательности, конечно. Докажите, что

$f(x)=cx^k$ при некоторых целых неотрицательных

$c$ и

$k$ .
комментарий/решение