Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2003 год

Алфавит $A$ состоит из $n$ букв. $S$ — множество слов конечной длины, составленных из букв этого алфавита. Известно, что любая бесконечная последовательность букв алфавита $A$ начинается ровно с одного из слов множества $S$. Докажите, что множество $S$ конечно.