Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2003 год

Каких чисел больше в промежутке от 1 до 1000000: представимых в виде $2x^2 - 3y^2$ с целыми $x$ и $y$ или представимых в виде $10xy - x^2 - y^2$ с целыми $x$ и $y$?

Комментарий/решение

Заметим что, $10xy-x^2-y^2=2(x+y)^2-3(x-y)^2$. Если число представимо в виде $10xy-x^2-y^2$, то

число представимо и в виде $2x^2-3y^2$. Но $6=2*3^2-3*2^2$ и $10xy-x^2-y^2=8xy-(x-y)^2 \equiv 0,3 \pmod{4}$. Поэтому числа представимые в виде $2x^2-3y^2$ больше.