Республиканская олимпиада по математике, 2012 год, 9 класс

Задача №1.  Решите уравнение $p+\sqrt{q^2+r}=\sqrt{s^2+t}$ в простых числах. ( А. Васильев )
комментарий/решение(5)

---

Задача №2.  Даны две окружности $k_1$ и $k_2$ с центрами в точках $O_1$ и $O_2$ которые пересекаются в точках $A$ и $B$. Через точку $A$ проходит две прямые которые пересекают окружность $k_1$ в точках $N_1$ и $M_1$, а окружность $k_2$ в точках $N_2$ и $M_2$ (точки $A$, $N_1$ и $N_2$ лежат на одной прямой). Обозначим середины отрезков $N_1N_2$ и $M_1M_2$ через $N$ и $M$. Доказать, что:
а) точки $M$, $N$, $A$ и $B$ лежат на одной окружности.
б) центр окружности проходящий через $M$, $N$, $A$ и $B$ лежит на середине отрезка $O_1O_2$.
комментарий/решение(3)

---

Задача №3.  Даны положительные действительные числа $a$, $b$, $c$, $d \in \mathbb{R}^+$, для которых выполнено следующие условия:
а) $(a-c)(b-d)=-4$.
б) $\dfrac{a+c}{2} \geq \dfrac{a^2+b^2+c^2+d^2}{a+b+c+d}.$
Найти минимум выражения $a+c$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  Существует ли такая бесконечная последовательность целых положительных чисел $(a_n)$, что для каждого $n\geq 1$ выполняется соотношение $a_{n+2}=\sqrt{a_{n+1}}+a_n$? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(6)

---

Задача №5.  Дан вписанный четырехугольник $ABCD$, в котором отмечены середины сторон точками $M$, $N$, $P$, $Q$ в данном порядке. Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Доказать, что треугольники $OMN$, $ONP$, $OPQ$, $OQM$ имеют одинаковые радиусы описанных окружностей.
комментарий/решение(1)

---

Задача №6. Клетки доски $(2m+1)\times (2n+1)$ красятся в два цвета — белый и черный. Единичная клетка строки (столбца) называется доминирующей по строке (по столбцу), если более половины клеток этой строки (этого столбца) имеет одинаковый цвет с этой клеткой. Докажите, что по крайней мере $m+n-1$ клеток доски одновременно доминируют по строке и по столбцу.
комментарий/решение(1)

---