Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Республиканская олимпиада по математике, 2012 год, 9 класс


Дан вписанный четырехугольник ABCD, в котором отмечены середины сторон точками M, N, P, Q в данном порядке. Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Доказать, что треугольники OMN, ONP, OPQ, OQM имеют одинаковые радиусы описанных окружностей.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 4   3
7 года назад #

Четырехугольник MNPQ-параллелограмм, следует из того что M,N,P,Q - середины сторон. Треугольники BOC, AOD подобны, значит BNO=AQO так как N,Q середины сторон, учитывая что BNM=BCA=BDA=MQA получаем MNO=MQO откуда и следует равенство радиусов описанных около треугольников MNO,MOQ из теоремы синусов 2RMNO,MOQ=MOsinMQO , аналогично 2RONP,OPQ=OPsinPQO, равенство MOsinMQO=OPsinPQO следует из треугольников MOQ,POQ учитывая OMQ=OPQ.

Значит RMNO=RMOQ=RONP=ROPQ.