Математикадан республикалық олимпиада, 2011-2012 оқу жылы, 9 сынып
Қабырғаларының орталары (ретімен) M, N, P, Q болатын шеңберге іштей сызылған ABCD төртбұрышы берілген. AC және BD диагоналдары O нүктесінде қиылысады. OMN, ONP, OPQ, OQM үшбұрыштарының сырттай сызылған шеңберлерінің радиустері өзара тең екенін дәлелдеңдер.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Четырехугольник MNPQ-параллелограмм, следует из того что M,N,P,Q - середины сторон. Треугольники BOC, AOD подобны, значит ∠BNO=∠AQO так как N,Q середины сторон, учитывая что ∠BNM=∠BCA=∠BDA=∠MQA получаем ∠MNO=∠MQO откуда и следует равенство радиусов описанных около треугольников MNO,MOQ из теоремы синусов 2RMNO,MOQ=MOsin∠MQO , аналогично 2RONP,OPQ=OPsin∠PQO, равенство MOsin∠MQO=OPsin∠PQO следует из треугольников MOQ,POQ учитывая ∠OMQ=∠OPQ.
Значит RMNO=RMOQ=RONP=ROPQ.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.