Processing math: 100%

Математикадан республикалық олимпиада, 2011-2012 оқу жылы, 9 сынып


Қабырғаларының орталары (ретімен) M, N, P, Q болатын шеңберге іштей сызылған ABCD төртбұрышы берілген. AC және BD диагоналдары O нүктесінде қиылысады. OMN, ONP, OPQ, OQM үшбұрыштарының сырттай сызылған шеңберлерінің радиустері өзара тең екенін дәлелдеңдер.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 4   3
7 года 2 месяца назад #

Четырехугольник MNPQ-параллелограмм, следует из того что M,N,P,Q - середины сторон. Треугольники BOC, AOD подобны, значит BNO=AQO так как N,Q середины сторон, учитывая что BNM=BCA=BDA=MQA получаем MNO=MQO откуда и следует равенство радиусов описанных около треугольников MNO,MOQ из теоремы синусов 2RMNO,MOQ=MOsinMQO , аналогично 2RONP,OPQ=OPsinPQO, равенство MOsinMQO=OPsinPQO следует из треугольников MOQ,POQ учитывая OMQ=OPQ.

Значит RMNO=RMOQ=RONP=ROPQ.