Республиканская олимпиада по математике, 2012 год, 9 класс
Дан вписанный четырехугольник ABCD, в котором отмечены
середины сторон точками M, N, P, Q в данном порядке.
Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке O.
Доказать, что треугольники OMN, ONP, OPQ, OQM имеют
одинаковые радиусы описанных окружностей.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Четырехугольник MNPQ-параллелограмм, следует из того что M,N,P,Q - середины сторон. Треугольники BOC, AOD подобны, значит ∠BNO=∠AQO так как N,Q середины сторон, учитывая что ∠BNM=∠BCA=∠BDA=∠MQA получаем ∠MNO=∠MQO откуда и следует равенство радиусов описанных около треугольников MNO,MOQ из теоремы синусов 2RMNO,MOQ=MOsin∠MQO , аналогично 2RONP,OPQ=OPsin∠PQO, равенство MOsin∠MQO=OPsin∠PQO следует из треугольников MOQ,POQ учитывая ∠OMQ=∠OPQ.
Значит RMNO=RMOQ=RONP=ROPQ.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.