Республиканская олимпиада по математике, 2012 год, 9 класс

Дан вписанный четырехугольник $ABCD$, в котором отмечены середины сторон точками $M$, $N$, $P$, $Q$ в данном порядке. Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Доказать, что треугольники $OMN$, $ONP$, $OPQ$, $OQM$ имеют одинаковые радиусы описанных окружностей.

Комментарий/решение

Четырехугольник $MNPQ$-параллелограмм, следует из того что $M,N,P,Q$ - середины сторон. Треугольники $BOC, \ AOD$ подобны, значит $\angle BNO = \angle AQO$ так как $N,Q$ середины сторон, учитывая что $\angle BNM = \angle BCA = \angle BDA = \angle MQA$ получаем $\angle MNO = \angle MQO$ откуда и следует равенство радиусов описанных около треугольников $MNO, MOQ$ из теоремы синусов $2R_{MNO, MOQ}=\dfrac{MO}{\sin \angle MQO}$ , аналогично $2R_{ONP,OPQ} = \dfrac{OP}{\sin \angle PQO}$, равенство $\dfrac{MO}{sin \angle MQO} = \dfrac{OP}{\sin \angle PQO}$ следует из треугольников $MOQ , POQ$ учитывая $\angle OMQ = \angle OPQ$.

Значит $R_{MNO}=R_{MOQ} = R_{ONP}=R_{OPQ}$.