Математикадан республикалық олимпиада, 2011-2012 оқу жылы, 9 сынып

Есеп №1.

$p+\sqrt{{{q}^{2}}+r}=\sqrt{{{s}^{2}}+t}$ теңдеуін жай сандар жиынында шешіңдер. ( А. Васильев )
комментарий/решение(5)

Есеп №2. Центрлері

${{O}_{1}}$ және

${{O}_{2}}$ болатын

${{k}_{1}}$ және

${{k}_{2}}$ шеңберлері A және B нүктелерінде қиылысын. А нүктесі арқылы өтетін екі түзу

${{k}_{1}}$ шеңбірін

${{N}_{1}}$ және

${{M}_{1}}$ нүктелерінде, ал

${{k}_{2}}$ шеңберін

${{N}_{2}}$ және

${{M}_{2}}$ нүктелерінде қиып өтеді (мұндағы

$A,$

${{N}_{1}}$ және

${{N}_{2}}$ нүктелері бір түзу бойында жатыр).

${{N}_{1}}{{N}_{2}}$ және

${{M}_{1}}{{M}_{2}}$ кесінділерінің орталарын сәйкесінше

$N$ және

$M$ деп белгілейік. Дәлелдеңдер:
a)

$M$ ,

$N$ ,

$A$ және

$B$ нүктелері бір шеңбердің бойында жатады.
b)

$M$ ,

$N$ ,

$A$ және

$B$ нүктелері арқылы өтетін шеңбердің центрі

${{O}_{1}}{{O}_{2}}$ кесіндісінің ортасы болып келеді.
комментарий/решение(3)

Есеп №3. Оң нақты

$a,b,c,d\in {{\mathbb{R}}^{+}}$ сандарына келесі шарттар орындалсын:
a)

$(a-c)(b-d)=-4$ .
b)

$\dfrac{a+c}{2}\ge \dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}}{a+b+c+d}$ .

$a+c$ өрнегінің мүмкін болар ең кіші мәнін табыңдар. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Әрбір

$n\ge 1$ үшін

${{a}_{n+2}}=\sqrt{{{a}_{n+1}}}+{{a}_{n}}$ теңдігі орындалатындай оң бүтін сандардың ақырсыз

$\left( {{a}_{n}} \right)$ тізбегі табыла ма? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(6)

Есеп №5. Қабырғаларының орталары (ретімен)

$M$ ,

$N$ ,

$P$ ,

$Q$ болатын шеңберге іштей сызылған

$ABCD$ төртбұрышы берілген.

$AC$ және

$BD$ диагоналдары

$O$ нүктесінде қиылысады.

$OMN$ ,

$ONP$ ,

$OPQ$ ,

$OQM$ үшбұрыштарының сырттай сызылған шеңберлерінің радиустері өзара тең екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

Есеп №6. Өлшемі

$\left( {2m + 1} \right) \times \left( {2n + 1} \right)$ болатын тақтаның әрбір бірлік шаршысы екі түске — ақ және қара — боялған. Егер жолдағы (бағандағы) бірлік шаршылардың саны сол жолдың (бағанның) бірлік шаршысымен бір түстес болса, онда осы бірлік шаршыны жол (баған) бойынша басым дейміз. Ең кем дегенде тақтаның

$m+n+1$ бірлік шаршысы бір мезгілде өзінің жолы және бағаны бойынша басым болатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

результаты