Математикадан республикалық олимпиада, 2011-2012 оқу жылы, 9 сынып

Есеп №1. $p+\sqrt{{{q}^{2}}+r}=\sqrt{{{s}^{2}}+t}$ теңдеуін жай сандар жиынында шешіңдер. ( А. Васильев )
комментарий/решение(5)

---

Есеп №2. Центрлері ${{O}_{1}}$ және${{O}_{2}}$болатын ${{k}_{1}}$ және ${{k}_{2}}$шеңберлері A және B нүктелерінде қиылысын. А нүктесі арқылы өтетін екі түзу ${{k}_{1}}$ шеңбірін ${{N}_{1}}$ және ${{M}_{1}}$ нүктелерінде, ал ${{k}_{2}}$ шеңберін ${{N}_{2}}$және ${{M}_{2}}$ нүктелерінде қиып өтеді (мұндағы $A,$ ${{N}_{1}}$ және ${{N}_{2}}$ нүктелері бір түзу бойында жатыр). ${{N}_{1}}{{N}_{2}}$ және ${{M}_{1}}{{M}_{2}}$ кесінділерінің орталарын сәйкесінше $N$ және $M$ деп белгілейік. Дәлелдеңдер:
a) $M$, $N$, $A$ және $B$ нүктелері бір шеңбердің бойында жатады.
b) $M$, $N$, $A$ және $B$ нүктелері арқылы өтетін шеңбердің центрі ${{O}_{1}}{{O}_{2}}$кесіндісінің ортасы болып келеді.
комментарий/решение(3)

---

Есеп №3. Оң нақты $a,b,c,d\in {{\mathbb{R}}^{+}}$сандарына келесі шарттар орындалсын:
a) $(a-c)(b-d)=-4$.
b) $\dfrac{a+c}{2}\ge \dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}}{a+b+c+d}$.
$a+c$ өрнегінің мүмкін болар ең кіші мәнін табыңдар. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №4. Әрбір $n\ge 1$ үшін ${{a}_{n+2}}=\sqrt{{{a}_{n+1}}}+{{a}_{n}}$ теңдігі орындалатындай оң бүтін сандардың ақырсыз $\left( {{a}_{n}} \right)$ тізбегі табыла ма? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(5)

---

Есеп №5. Қабырғаларының орталары (ретімен) $M$, $N$, $P$, $Q$ болатын шеңберге іштей сызылған $ABCD$ төртбұрышы берілген. $AC$ және $BD$ диагоналдары $O$ нүктесінде қиылысады. $OMN$, $ONP$, $OPQ$, $OQM$ үшбұрыштарының сырттай сызылған шеңберлерінің радиустері өзара тең екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №6. Өлшемі $\left( {2m + 1} \right) \times \left( {2n + 1} \right)$ болатын тақтаның әрбір бірлік шаршысы екі түске — ақ және қара — боялған. Егер жолдағы (бағандағы) бірлік шаршылардың саны сол жолдың (бағанның) бірлік шаршысымен бір түстес болса, онда осы бірлік шаршыны жол (баған) бойынша басым дейміз. Ең кем дегенде тақтаның $m+n+1$ бірлік шаршысы бір мезгілде өзінің жолы және бағаны бойынша басым болатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

---