Областная олимпиада по математике, 2025 год, 11 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. $A$ и $B$ играют в игру на клетчатой доске $100\times 100$. У каждого игрока есть по фишке. В начале игры фишка игрока $A$ стоит в левом нижнем углу, а фишка игрока $B$ — в правом нижнем углу. Игроки делают ходы по очереди, начинает $A$. За один ход игрок передвигает свою фишку на любую клетку доски, соседнюю по стороне с клеткой предыдущей позиции. Докажите, что игрок $A$ за конечное число ходов сможет добиться того, что в какой-то момент его фишка будет стоять на одной клетке с фишкой игрока $B$, независимо от ходов второго игрока.
комментарий/решение(2)

Задача №2. Найдите все такие пары $(p,q)$ простых чисел, что $p>q-2$ и $7^{pq}-5^p$ делится на $pq$. ( С. Мейрам )
комментарий/решение(2)

Задача №3. $O$ — центр описанной около остроугольного треугольника $ABC$ окружности, $CH$ — его высота. Точка $K$ симметрична $H$ относительно $AC$, $L$ симметрична $H$ относительно $BC$. $CO$ пересекает $HK$ и $HL$ в точках $P$ и $Q$, соответственно. Окружность, описанная около треугольника $PQH$, вторично пересекает окружности, описанные около треугольников $KLP$ и $KLQ$, в точках $P_1$ и $Q_1$, соответственно. Докажите, что точки $C$, $P_1$ и $Q_1$ лежат на одной прямой. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2)

Задача №4. Неугомонная Сестренка начертила остроугольный треугольник $ABC$ и провела в нем высоты $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, которые пересеклись в точке $H$. Неугомонная Сестренка измерила длины трех отрезков $AH$, $BH$, $CH$ и записала результаты измерений на трех красных карточках. Не ограничившись этим, она измерила длины отрезков $HA_1$, $HB_1$, $HC_1$ и записала их на трех зеленых карточках. Желая развлечь Шустрого Братишку, не различающего красного и зеленого цветов, она передала ему все шесть карточек, предварительно перемешав их. Сможет ли Шустрый Братишка однозначно указать три красные карточки, если все шесть чисел, записанные на карточках, оказались различными? ( Шакиев А., Хаджимуратов Н )
комментарий/решение(1)

Задача №5. Пусть $M=\{2^0,2^1,2^2,\ldots,2^{2024}\}$. Медвежонок Паддингтон составил 675 квадратных трехчленов $ax^2+bx+c$, используя числа из множества $M$ в качестве коэффициентов таких трехчленов, причем каждое число использовалось ровно один раз. Затем Паддингтон построил графики этих квадратных трехчленов на координатной плоскости. На какое наименьшее количество частей эти графики могут разбить плоскость? ( Шакиев А., Хаджимуратов Н )
комментарий/решение(2)

Задача №6. Пусть $s(n)=1+2+\ldots+n$, а $S=\{1,4,9,16,\ldots \}$ есть множество всех квадратов натуральных чисел. Определим последовательность таким образом, что $a_1=1$ и $a_{n+1}=\min \{m:(s(m)-s(a_n ))\in S\}$ для всех натуральных $n$. Докажите, что $a_k$ делится на $a_l$ тогда, и только тогда, когда $k$ делится на $l$. ( А. Васильев )
комментарий/решение