7-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6-7 класс, 3 (командный) тур

Есеп №1. 1-ден 12-ге дейінгі натурал сандарды кез келген екі көрші санның айырмасы 1-ге немесе 2-ге тең болатындай етіп шеңбер бойына орналастырыңыз.
комментарий/решение

Есеп №2. Ребустың бір шешімін табыңыз: $AL\cdot FA=RABI$. Мұнда әртүрлі әріптер әртүрлі цифрларды, ал бірдей әріптер бірдей цифрларды білдіреді.
комментарий/решение

Есеп №3. Суретте көрсетілген фигураны үш бөлікке бөліп, олардан шаршы құрастырыңыз. Бөліктерден шаршыны қалай құрастыру керек екенін көрсетіңіз. Кесулер тор сызықтарымен өтуі міндетті емес.

комментарий/решение

Есеп №4. Сандар тізбегі келесідей құрастырылған: алғашқы үш сан 1, 2, 3 сандары; ал әрбір келесі сан алдыңғы үш санның қосындысының соңғы цифры болып табылады. Бұл қатарда 2, 3, 1 (дәл осы ретпен) үштігі табыла ма?
комментарий/решение

Есеп №5. Оң $a,b,c$ сандары келесі қасиетке ие: $a,b,c$ сандарының ешқайсысы бүтін емес, бірақ барлық $ab,bc,ca,abc$ төрт сан — бүтін сандар.
а) Осы шарттарды қанағаттандыратын $\left( a,b,c \right)$ үштігіне бір мысал келтіріңіз.
б) Осы шарттарды қанағаттандыратын шексіз көп $\left( a,b,c \right)$ үштіктері бар екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение

Есеп №6. $ABC$ үшбұрышында $C$ бұрышы $A$ бұрышынан үш есе үлкен. $AB$ қабырғасында $BD=BC$ болатындай $D$ нүктесі белгіленген. Егер $AD=4$ болса, $CD$ қабырғасын табыңыз.
комментарий/решение

Есеп №7. Шахмат турнирінде әр екі қатысушы бір-бірімен бір ойын ойнады. Турнир соңында жеңімпаз болған ойыншы барлығын жеңгені, бірақ қалған ойыншылардың жинаған ұпай санынан 5 есе аз ұпай жинағаны белгілі болды. Турнирге неше ойыншы қатысқан? (Шахмат ойынында жеңіс үшін 1 ұпай, тең ойын үшін — 0,5 ұпай, жеңіліс үшін — 0 ұпай алады.)
комментарий/решение

Есеп №8. ${{2}^{a}}$ санының цифрларын орындарымен ауыстыру арқылы ${{2}^{b}}$ санын алуға болатындай $a$ және $b$ түрлі натурал сандары табыла ма?
комментарий/решение

Есеп №9. $n$ санының қандай мәнінде өлшемі $n\times n$ тақтаны төрт ұяшықтан құралған «Г» тәріздес фигуралармен жауып шыға аламыз?
комментарий/решение

Есеп №10. Екі натурал санның қосындысы 2015-ке тең. Осы екі санның көбейтіндісі ең көп дегенде неше нөлмен аяқтала алады?
комментарий/решение

Есеп №11. $*+**+***+****=2024$ мысалында дұрыс теңдік шығатындай етіп, жұлдызшаларды 0-ден 9-ға дейінгі (әрқайсысын бір бірден қолданып) цифрларды қойып шығуға бола ма?
комментарий/решение

Есеп №12. Түрлі $n$ натурал санның көбейтіндісінің кемінде $\frac{n(n-1)}{2}+1$ бөлгіші бар екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение

Есеп №13. Дөңес $ABCD$ төртбұрышында $AB=BC=CD$ және $\angle ABC+\angle BCD=240^\circ$ теңдіктері орындалады. $CAD$ бұрышын табыңыз.
комментарий/решение

Есеп №14. Нақты $a,b,c$ сандары $${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=a+b+c=1$$ теңдіктерін қанағаттандырады. $a, b, c$ сандарының арасында 0 саны бар екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение

Есеп №15. $ n^2 < a^3 < b^3 < (n+1)^2$ теңсіздіктері орындалатындай натурал $a, b, n$ сандары табыла ма?
комментарий/решение

Есеп №16. $x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=32\cdot y(y+1)(y+2)(y+3)(y+4)$ теңдігін қанағаттандыратын натурал $(x,y)$ сандар жұбы табыла ма?
комментарий/решение