7-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6-7 класс, 3 (командный) тур

Существуют ли натуральные числа $a, b, n$ такие, что $$n^2 < a^3 < b^3 < (n+1)^2?$$

Комментарий/решение

$n^2 < a^3 < (a + 1)^3$ $\leq$ $b^3 < (n + 1)^2$ $\Rightarrow$ $(a + 1)^3 < (n + 1)^2$ $\Rightarrow$ $(a + 1)^3 - a^3 < (n + 1)^2 - n^2$ $\Rightarrow$ $3a^2 + 3a + 1 < 2n + 1$ $\Rightarrow$ $(3a^2 + 3a)^2 < (2n)^2$ $\Rightarrow$ $4a^3 < 9a^4 + 18a^3 + 9a^2 < 4n^2$

$4a^3 < 4n^2$ $\Rightarrow$ $a^3 < n^2$ Противоречие