Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2021 год

Задача №1. Вдоль одной из улиц Алматы растут 50 яблонь; все они разной высоты. Оказалось, что высота ровно 15-и яблонь выше высоты своей левой соседней яблони. Сколько яблонь при этом по высоте выше своей правой соседней яблони?
комментарий/решение(1)

Задача №2. На сторонах

$AB$ и

$AD$ прямоугольника

$ABCD$ отмечены точки соответственно

$K$ и

$L$ такие, что площади треугольников

$AKL$ ,

$BCK$ ,

$CDL$ попарно равны. Найдите длину отрезка

$AL$ , если длина отрезка

$LD$ равна 2.
комментарий/решение(1)

Задача №3. Решите уравнение в простых числах:

${{p}^{3}}+{{q}^{3}}+1={{p}^{2}}{{q}^{2}}$ .
комментарий/решение(1)

Задача №4. В 12 дня Айбике, Рэй и Руни начали пробежку по беговой дорожке длины 300 метров, имеющая форму окружности. Бег начинается с одной точки, и каждый из них бежит с постоянной скоростью в одном из двух возможных направлений большое количество времени. Докажите, что если скорость бега Айбике отличается от скоростей остальных бегунов, то в какой-то момент Айбике будет на расстоянии как минимум 100 метров от каждого из двух остальных бегунов.
комментарий/решение

Задача №5. Можно ли используя все цифры ровно по одному разу составить два пятизначных числа, одно из них делится на другое?
комментарий/решение(4)

Задача №6. Один ученик, не зная правила сложения дробей, прибавляет числитель к числителю, а знаменатель к знаменателю. Однажды он сложил две правильные несократимые дроби и получил ответ, который ровно в 2 раза меньше истинного. Какие дроби складывал Вася, если известно, что они различны и одна из них равна

$\frac{1}{6}$ ? (Найдите все варианты и докажите, что других нет.)
комментарий/решение(1)

Задача №7. В выпуклом четырехугольнике

$ABCD$ выполнены равенства

$BC=AD$ ,

$\angle BCD=90^\circ$ ,

$AB=AC$ . Найдите всевозможные значения

$\angle ADC$ .
комментарий/решение(1)

Задача №8. Действительное число

$a$ , не равное 16, удовлетворяет равенству:

$a+\frac{4}{\sqrt{a}}=17.$ Вычислите значение выражения

${{a}^{2}}-18a+5.$
комментарий/решение(1)