Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2021 год

На сторонах $AB$ и $AD$ прямоугольника $ABCD$ отмечены точки соответственно $K$ и $L$ такие, что площади треугольников $AKL$, $BCK$, $CDL$ попарно равны. Найдите длину отрезка $AL$, если длина отрезка $LD$ равна 2.

Комментарий/решение

Противоположные стороны прямоугольника равны. Давайте обозначим стороны: Пусть AL=a, AK=b, CD=c, тогда BK=c-b, BC=a+2. Эти все 3 треугольника - прямоугольные, а их площади равны 1/2 произведения катетов. Так как из площади равны, то и произведения этих катетов равны: ab=2c=(c-b)(a+2)=ac+2c-ab-2b. Так как 2c=ab=>ac-2b=ab=2c. Выразим b через ab=2c =>b=2c/a. Подставляем опять в ac-2b=ac-2*2c/a=ac-4c/a. Что в свою очередь равно 2c. 2c=ac-4c/a. Делим обе части на с, получаем 2=а-4/а=>а^2-2а-4=0. Решая дискримантом мы найден два корня: 1+-sqrt(5), но так как это длина стороны, то она >0, поэтому мы берем только положительный корень, равный 1+sqrt(5). Так как AL=a => ответ: 1+sqrt(5)