Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2021 год

Один ученик, не зная правила сложения дробей, прибавляет числитель к числителю, а знаменатель к знаменателю. Однажды он сложил две правильные несократимые дроби и получил ответ, который ровно в 2 раза меньше истинного. Какие дроби складывал Вася, если известно, что они различны и одна из них равна $\frac{1}{6}$? (Найдите все варианты и докажите, что других нет.)

Комментарий/решение

Пусть вторая дробь будет a/b. Тогда по его способу-1/6+a/b=(a+1)/(b+6). А в реале: a/b + 1/6=(6a+b)/(6b). Тогда получаем уравнение: (2a+2)/(b+6)=(6a+b)/(6b)=>12ab+12b=6ab+36a+b^2 +6b=>b^2-6ab-6b-36a=0. b(b-6a)-6(b-6a)=0=>(b-6a)(b-6)=0=>b=6 или b=6a. Допустим b=6, (a+1)/6=2* (a+1)/(6+6=>(a+1)/6=(a+1)/6. Что является верным тождеством. Что значит, что мы должны подставить все числа на отрезке [1,5] так как дробь по условию правильная. Но нам не подходят 1,2,3,4 так как дробь не должны сократимыми и равными. Тогда нам подходит 5/6. Если взять b=6a. То мы получим дробь 1/6 - но она нам не подходит, так как дроби не должны быть равными, и так ответ: 5/6