Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2021 год

Бөлшектерді қосу ережесін білмейтін оқушы, алымына алымын, бөліміне бөлімін қосады. Бір күні ол екі қысқартылмайтын дұрыс бөлшектерді қосты да, жауабында дұрыс жауаптан дәл екі есе кіші сан алды. Егер екі қосу керек бөлшектері әртүрлі екені және олардың бірі $\frac{1}{6}$-ге тең екені белгілі болса, оқушы қандай бөлшектерді қосқан?

Комментарий/решение

Пусть вторая дробь будет a/b. Тогда по его способу-1/6+a/b=(a+1)/(b+6). А в реале: a/b + 1/6=(6a+b)/(6b). Тогда получаем уравнение: (2a+2)/(b+6)=(6a+b)/(6b)=>12ab+12b=6ab+36a+b^2 +6b=>b^2-6ab-6b-36a=0. b(b-6a)-6(b-6a)=0=>(b-6a)(b-6)=0=>b=6 или b=6a. Допустим b=6, (a+1)/6=2* (a+1)/(6+6=>(a+1)/6=(a+1)/6. Что является верным тождеством. Что значит, что мы должны подставить все числа на отрезке [1,5] так как дробь по условию правильная. Но нам не подходят 1,2,3,4 так как дробь не должны сократимыми и равными. Тогда нам подходит 5/6. Если взять b=6a. То мы получим дробь 1/6 - но она нам не подходит, так как дроби не должны быть равными, и так ответ: 5/6