Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2021 год

16-ға тең емес нақты $a$ саны $a+\frac{4}{\sqrt{a}}=17$ теңдігін қанағаттандырады. ${{a}^{2}}-18a+5$ өрнегінің мәнін табыңыз.

Комментарий/решение

Давайте заменим sqrt(a) на новую переменную t, очевидно t>=0. Значит а=t^2. Тогда мы получаем уравнение t^2 + 4/t = 17=> t^3-17t+4=0. Преобразуем и решим уравнение: t^3 -4t^2 +4t^2 -16t - t + 4=0. t^2*(t-4) + 4t*(t-4) -(t-4)=0; (t-4)*(t^2 + 4t -1)=0. Откуда получаем 3 корня: 4, -2+-sqrt(5) с помощью дискриминанта. Но так как a не равно 16, значит t не равно 4, и также t>0, откуда -2-sqrt(5) не является корнем. Тогда единственное значение t=sqrt(5)-2. Вернемся к а=t^2=(sqrt(5)-2)^2=9-4*sqrt(5). Теперь вернемся к выражению, подставляем а, и получаем: (9-4*sqrt(5))^2 -18*(9-4*sqrt(5))+5=161-72*sqrt(5) -162+72*sqrt(5)+5=4. Ответ:4