Республиканская юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2017-2018 учебный год

Есеп №1. Дөңгелек үстелде тек шындықты айтатын серілер, тек өтірікті айтатын өтірікшілер және қалағанынша шындықты немесе өтірікті айтатын айлакерлер отыр. Барлығы 2018 адам. Отырғандардан әрқайсысы мынадай екі сөйлем айтты: «Менің сол жақтағы көршім — өтірікші», «Менің оң жақтағы көршім — айлакер». Осы үстелде айлакерлерден ең аз қаншасы отыра алады?
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Бірнеше достар бір жерде кездесті. Көңіл-күйі болмағандықтан кейбірлерімен амандасып, кейбірлерімен амандаспаған Қайраттан басқаларының әрқайсысы бір-бірлерімен қол алысып амандасты. Барлығы 222 қол алысып амандасулар болды. Сонда Қайрат қанша қол алысып амандасулар жасады?
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$AB=BD=AF$ болатындай

$ABC$ үшбұрышының

$AB$ қабырғасының жалғасында

$B$ нүктесінен кейін

$D$ нүктесі таңдалған, мұндағы

$F$ нүктесі —

$BC$ ортасы.

$AC$ қабырғасымен

$E$ нүктесінде қиылысатындай

$DF$ кесіндісін созды.

$CE=CF$ болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)

Есеп №4. Суретте көрсетілгендей тіктөртбұрыш 9 шаршыға кесілген. Ең кіші ақ шаршының қабырғасы 1-ге тең. Үлкен тіктөртбұрыштың қабырғаларының ұзындығын табыңыз.

комментарий/решение(1)

Есеп №5.

$17*04*20*18*$ cаны 45-ке бөлінетіндей әр жұлдызшаны кез келген цифрға ауыстыру керек. Бұны қанша әртүрлі тәсілмен жасауға болады?
комментарий/решение(1)

Есеп №6.

$3\times \text{ЕҮОБ}(x,y) + x = 2020$ ,

$\text{ЕКОЕ}(x,y) + 2y = 2018$ теңдіктері орындалатындай барлық натурал

$x$ және

$y$ сандарын табыңыз.
комментарий/решение(1)

Есеп №7. 2018 волейбол командалары бір айналымдық турнир (әрқайсысы әрқайсысымен бір рет ойнады) өткізді және әр матчта матчтан бұрынғы ұпайлары бірдей командалар ойнады. Жеңімпаз команда қанша ұпай жинады? Бір жеңіс үшін 1 ұпай, бір ұтылыс үшін 0 ұпай, тең ойын деген болмайды.
комментарий/решение(1)

Есеп №8. Маймыл 10-қабатты үйдің ең төменгі қай қабатынан лақтырғанда кокс жаңғағы жарылатынын анықтағысы келеді. Ол кокос жаңғағын 4 қабаттан лақтырғанда жарылмайтынын біледі. Егер маймылда екі жаңғақ қана бар болса, онда өзінің мақсатына жету үшін ең аз қанша рет жаңғақ лақтыру керек? (Жаңғақтардың қаттылығы бірдей деп есептейміз.)
комментарий/решение(2)

Есеп №9.

$9\times9$ шаршысын

$2\times 2$ шаршыларына және үш торкөзден құралған «бұрыштарға» кескен. Ең көп қанша

$2\times 2$ шаршылары пайда болу мүмкін?
комментарий/решение(14)

Есеп №10.

$ABCDE$ дөңес бесбұрышының барлық қабырғалары тең. Егер

$\angle BCD = 2\angle ACE$ болса, онда

$\angle ACE$ -ні табыңыз.
комментарий/решение(1)